《现代控制工程基础》复习笔记

    在写复习笔记前，先把老师画的重点写一遍，整理一下自己的思路，也方便读者知道本篇文章内容。

第一章，绪论

1. 闭环控制的概念(以电机调速系统为例)
2. 开环与闭环控制的异同点
3. 反馈控制系统的组成

第二章，数学模型

1. 数学模型的定义，建立方式，表达方式
2. 微分方程
3. 传递函数(定义，性质等)   拉普拉斯变换，反变换(查表)
4. 结构图(串联，并联，反馈)
5. 信号流图(梅森公式)

第三章，时域分析

1. 指标：Tr  Tp  @% Ts  Ess
2. 一阶系统  Ts=3T(4T)
3. 二阶系统  4个指标(计算公式)
4. 高阶系统（闭环主导极点和偶离子）
5. 稳定性，劳斯判距（特殊情形，相对稳定性）
6. 稳态特性 (1) ess = lim(s->0)  sE(s)   (2)误差来源于输入和扰动 E(s)=E1(s)+E2(s) (3)  (4)如何消除误差

第四章，根轨迹

1. 7条画图规则

第五章，线性系统的频域分析法

具体见下图

然后就是照着重点来复习了，2333

第一章，控制系统的一般概念

1，开环控制系统

    只靠输入量对输出量单向控制，而输出量或被控制量对输入量没有反向作用的系统，叫开环控制系统。如下图所示

开环控制系统的特点:

（1）输出不影响输入，所以不需要对输出量进行测量，调试方便，易于实现；

（2）结构简单，成本低廉，多用于系统结构参数稳定和扰动信号较弱的场合

（3）抗干扰能力差，控制精度不高

2，闭环控制系统

    在闭环控制系统中，不仅输入量对输出量进行控制，输出量对输入量也有反向作用。反馈是指把系统输出量的全部或一部分回馈到输入端并进行比较，用偏差对输出量进行控制。闭环控制系统又称反馈控制系统。

闭环控制系统的特点：

（1）系统具有降低偏差的能力

（2）抗干扰性好，控制精度高

（3）包含元件多，结构复杂，价格高

（4）系统存在稳定性问题

3，闭环控制系统的基本组成

    闭环控制系统的结构图如下图所示

    闭环控制系统是由各种不同的元部件组成的，将组成系统的元部件按职能分类主要有以下几种。

1. 测量元件：检测系统输出并参与控制的信号，如闭环调速系统中的测速机。
2. 给定元件：系统输入，其作用决定系统的控制目标，如闭环调速系统中的电位器。
3. 比较元件：比较系统输入和反馈信号，并给它们的差值，如大脑比较手和书的位置。
4. 放大元件：对差值信号进行放大（包括功率放大）。
5. 执行元件：执行控制信号，实现控制目标，如手臂和手执行大脑的信号使手向书的位置移动。

    此外，闭环控制系统中还有一些相关概念。

1. 主反馈：直接取自系统输出端，经过测量和变换，又引入到系统输入端的信号叫主反馈信号，相应的反馈叫做主反馈
2. 前向通道：从系统输入端到输出量之间的通道称为前向通道
3. 主反馈通道：从输出量到主反馈信号之间的通道称为主反馈通道。
4. 单位反馈系统：主反馈信号等于输出量的系统叫做单位反馈系统
5. 非单位反馈系统：主反馈信号不等于输出量的系统叫做非单位反馈系统
6. 局部反馈：对应于内回路

第二章，数学模型

1，数学模型的定义，建立方式，表达方式。

    数学模型的定义：为了对自动控制系统进行深入的分析和设计，需要定量计算系统的动，静态性能指标。而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反应其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。这种描述系统输入，输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。

    数学模型的建立方式：建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的无愧规律或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。

    表达方式：数学模型有多种形式，可以根据控制系统的特点选用不同的数学模型对其进行研究。时域中常用的数学模型有微风方程，差分方程和状态空间方程；复域中有传递函数，结构图和信号流图；频域中有频率特性。

2，微分方程

    控制系统微分方程的建立：利用控制系统或组成系统的元部件自身的物理规律可以建立描述系统动态特性的微分方程，用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是:

1. 根据系统或元部件的具体工作情况，确定系统或元部件的输入，输出变量；
2. 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理(或化学)规律，列写出系统各元部件的动态方程，一般为微分方程组；
3. 消去中间变量，写出输入，输出变量的微分方程；
4. 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。

3，传递函数

    传递函数的定义：传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比

    传递函数的性质：

1. 传递函数是复变量s的有理分式，它具有复变函数的所有性质。因为实际物理系统总是存在惯性，而且能源功率有限，所以实际系统传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，即n>>m。
2. 传递函数只取决于系统的结构和参数，与外作用无关，也不反映系统内部的信息。
3. 系统的传递函数与微分方程一一对应。若给定了系统（元件）的微分方程，只要将其中的微分运算符d**(i)/dt用相应的s**i代替，就可以得到系统（元件）的传递函数。由传递函数也可以确定唯一的微分方程。
4. 传递函数的拉普拉斯反变换即为系统的单位脉冲响应，因此传递函数能反应系统运动特性
5. 传递函数在S=0点的值，即G(s)|s=0 = G（0）称为增益或静态传递函数。

4，拉普拉斯变换

    介绍，拉普拉斯变换(简称拉式变换)是一种积分变换，它可以将时间域内的微分方程变换成复数域内的代数方程，并在变换时引入了初始条件，可以方便的求解线性定常系统的微分方程；同时，拉普拉斯变换也是建立系统复数域的数学模型——传递函数的数学基础。

    拉普拉斯变换的定义

    设函数f(t)当t>=0时用定义，而且积分  存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，记作F(s)=L[f(t)]。其中，s是复变量。F(s)称为时间域内的函数f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。

例题1：求阶跃函数f(t)=A*1(t)的拉普拉斯变换

例题2：求指数函数f(t)=e**(-at)的拉普拉斯变换

例题3：求单位脉冲函数f(t)=@(t)的拉普拉斯变换

    拉普拉斯变换的常用定理

1. 线性性质，原函数之和的拉普拉斯变换等于各元函数拉普拉斯变换之和，常数可以提到拉普拉斯变换符号外面。即L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)
2. 微分定理，原函数f(t)的一阶导数的拉普拉斯变换为L[df(t)/dt]=sF(s)-f(0)
3. 积分定理，原函数f(t)对时间t积分的拉普拉斯变换为,式中，f**(-1)（0）为积分在t=0的值。
4. 初值定理，原函数的初值等于其象函数乘以s的终值。即
5. 终值定理，原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
6. 位移定理，时域中的位移：                                          复域中的位移：

    拉普拉斯反变换：拉普拉斯反变换的计算表达式较复杂，没有记的必要，可以记住下面几个例题。

例题1，

例题2，

例题3，

    解此类例题的思路是，分式分解后查表，在分时分解的过程中若分母有重根就解法如下，稍微复杂些。

    利用拉普拉斯变换法求解微分方程。

    利用拉普拉斯变换法可以方便地求解线性定常系数微分方程，其步骤是：

1. 对微分方程进行拉普拉斯变换，得到关于s的代数方程；
2. 根据得到的代数方程，求出象函数F(s)的拉普拉斯变换表达式；
3. 将F(s)的拉普拉斯变换展开成部分分式；
4. 查找拉普拉斯变换表，求得原函数。

例题：

5，结构图

    控制系统的结构图

    在系统方块图中将方框中对应的元部件名称转换成其相应的传递函数，并将环节的输入，输出量改用拉普拉斯变换表示后，就转换成了相应的系统结构图。

    结构图不经能表示系统的组成和信号传递方向，而且你能清楚地表示系统信号传递过程中的数学关系，它是一种图形化的系统数学模型，在控制理论中应用很广。

    结构图的组成和绘制

组成:信号线，引出点，比较点，方框

    结构图的等效替换

1. 串联方框：传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，串联后为 G2(s)G1(s)
2. 并联方框：传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，并联后为G1(s)+/-G2(s)
3. 反馈连接：负反馈: C(s)=G(s)*R(s)/(1+G(s)H(s))  正反馈:C(s)=G(s)*R(s)/(1-G(s)H(s))
4. 比较点的引出和移动

6,控制系统的信号流图

    信号流图是表示线性代数方程组的示意图，采用信号流图可以直接对代数方程组求解。

    信号流图的组成和绘制

    组成:节点和支路

    信号流图中常用的名词术语:

1. 源节点：只有输出支路而无输入支路的节点称为源节点或输入节点，
2. 阱节点。只有输入支路而无输出支路的节点称为阱节点或输出节点
3. 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，
4. 前向通路：从源节点开始并且终止于阱节点，与其它节点相交不多于一次的通路称为前向通路。前向通路各支路的增益的乘积称为前向通路增益，一般用Pk表示，下表k表示第k条前向通路。
5. 回路：起点和终点是同一节点，并且与其它任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益，一般用Lk表示。
6. 不接触回路。相互间没有任何共同节点的回路，称为不接触回路或互不接触回路。

梅森公式:

两个例题:

例题1：

例题2：

解题步骤:1，先求系统中的回路，并分别写出各回路的回路增益 2，依据各回路的回路增益及回路两两之间是否接触列写出特征式，特征式=1-（各回路增益之和）+（各两两互不接触的回路回路增益乘积之和） 3，求系统中的前向通路,并求出各前向通路的增益，4，看各前向通路和回路是否有接触，都有接触余子式为1，若有不接触的回路，则余子式为(1-不接触的回路回路增益)5，求总的 C(s)/R(s)=(前向通路的传递函数和余子式的乘积之和)/特征式

第三章，线性连续系统的时域分析

1，控制系统的时域响应和时域性能指标

    1.1 控制系统的时域响应

    时域响应是指控制系统在输入信号作用下输出量随时间变化的情况，通过研究控制系统的时域响应可以了解一个系统的性能。在典型输入信号作用下，任何系统的时域响应都是由动态过程和稳态过程两部分组成。

    动态过程指的是系统输出量由初始值到达稳态值的响应过程，又称过渡过程或瞬态过程。动态过程不仅可以提供系统稳定的信息，而且还可以提供响应速度，阻尼程度等信息。

    稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷大时，系统输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，可用稳态误差进行描述。

    1.2 控制系统的时域性能指标

    控制系统的时域性能指标是根据系统在单位阶跃信号作用下的时间响应确定的，这种时间响应称为单位阶跃响应。通常称为单位阶跃响应，通常以h(t)表示。实际控制系统多数设计为具有阻尼震荡的阶跃响应形式，

    动态性能指标

    描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下动态性能的指标称为动态性能指标。

1. 上升时间tr：对于响应有振荡的系统，响应曲线从零首次上升到稳态值所需的时间为上升时间，对于响应无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需要的时间。
2. 峰值时间tp：响应曲线超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间，它反映了系统动态过程的快速性。
3. 调节时间ts：响应达到并保持在稳态值的+-5%（或+-2%）误差带内所需要的最短时间。它是同时反应了系统的响应速度和阻尼程度的综合性指标。
4. 超调量：输出量的最大值h(tp)与稳态值h(无穷)之差与稳态值的百分比，即
5.     

    稳态性能指标

    稳态误差ess：当时间t趋于无穷大时，系统输出量的稳态值与期望值之差。稳态误差是衡量系统稳态性能的重要指标

2，一阶系统(ts=3T,4T)

    （1）一阶系统的数学模型

    （2）一阶系统的单位阶跃响应

    （3）一阶系统的单位斜坡响应

例题1：已知某系统的闭环传递函数为 K/Ts+1  其中T大于0，当K=1时，试求系统单位阶跃响应动态性能指标调节时间ts；当K>1时，试问它对ts的影响如何？

例题2：

3，二阶系统

4，高阶系统

    闭环主导极点和偶极子

    在对高阶系统进行分析时，在工程上常采用主导极点的概念进行近似的研究

1. 在高阶系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点，其周围没有闭环零点，且其他极点又远离虚轴，则它对系统的性能影响最大,称为主导极点。闭环主导极点可以是实数极点。也可以是复数极点，或是它们的组合。除闭环主导极点外，其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移而迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。
2. 在高阶系统中，一对靠的很近的闭环零，极点，称为偶极子，它们对系统动态性能的影响可忽略不计。可运用闭环主导极点和偶极子的概念，对高阶系统 动态性能进行估算。

5，线性系统的稳定性分析

    线性定常系统稳定的充要条件

    线性定常系统的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。

    劳斯判据

    系统稳定的必要条件:系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数均为正，且不缺项。若系统特征方程式的各项系数最后哦你有负或零项（缺项），则系统一定不稳定。

    劳斯稳定判据

    劳斯判据判断系统的稳定性，首先将特征方程的系数按一定规则列出表格，通过计算得到劳斯表，然后再判断系统的稳定性。

    劳斯表构造的规律为：（1）第一行由特征方程中第一，三，五等项系数组成，第二行由特征方程中第二，四，六等项系数组成；（2）后面元素的值=以该元素前两行中第一列与后一列元素构成的行列式做分子，以该元素前一行第一列元素做分母的分数值；（3）劳斯表共有（n+1）行，第（n+1）行仅有第一列有值，为特征方程的常数项an；（4）劳斯表的系数排列呈上三角形排列，空位值补零。

    线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列元素全部大于零，若出现小于零的元素，系统不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。

例题1：

例题2：

    劳斯稳定判据的特殊情况：

1. 劳斯表中某行的第一列元素为零，其他元素不为零或不全为零， 处理方法：用任意小的正实数z代替零，继续劳斯表的计算进行判断
2. 劳斯表中出现某行系数全为零 处理方法：用第k-1行的元素构成辅助方程，s的幂次一次递减2次，对辅助方程求导，用所得的方程系数代替全零行，继续完成劳斯表
   

6，线性系统的稳态性能分析

    6.1，误差及稳态误差

    定义：系统的误差定义为系统希望输出量Cr（t）和实际输出量c（t）之差，用e（t）表示。即e(t)=Cr(t)-C(t)

    定义：误差信号e(t)由瞬态分量和稳态分量两部分构成。对于稳定的系统，随着时间的推移，瞬态分量趋于0，我们定义稳态误差为误差信号的稳态值，用ess表示，即 ess=lim:t->无穷(t)

第四章，根轨迹法

    根轨迹法概述:

• 控制系统的主要方法之一
• 确定闭环系统极点的分布与开环传递函数零点，极点的关系
• 研究分析系统参数的变化与系统特征根的影响
• 根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点，极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系

1，根轨迹的基本概念

    开环传递函数 ，系统特征方程

     根轨迹的概念:开环传递函数中某个参数(通常是根轨迹增益)从零到无穷大变化时，系统特征根在s平面上移动的轨迹，它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。

    根轨迹与系统性能

    根轨迹图可以分析系统的各种性能：

• 稳定性：根轨迹均在s的左半平面，则系统对所有K>0的值是稳定的。
• 稳态性能：如图有一个开环极点s=0，说明属于I性系统，阶跃作用下的稳态误差为0.
• 动态性能：过阻尼>>临界阻尼>>欠阻尼。K越大，

   闭环零，极点与开环零，极点的关系

    

结论：

• 闭环零点由前向通道零点和反馈通道极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
• 闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关
• 开环根轨迹增益与开环增益的区别

     

    根轨迹方程

1，根轨迹方程

    

2，根轨迹方程两个条件:模值条件和相角条件

 注:相角条件是确定s平面上根轨迹的充分条件，即绘制根轨迹时，只需使用相角条件

     当需要确定根轨迹上各点的k+值时，才使用模值条件

3，相角方程的物理定义

结论: 相角方程:所有开环零点指向任一闭环极点(根轨迹上任一点)的向量与正实轴的夹角之和减去所有开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角之和满足(2K+1)pai

4，模值方程的物理意义

结论:模值方程：所有开环零点指向任一闭环极点的向量的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。

根轨迹:开环传递函数中某个参数(通常是根轨迹增益)从零到无穷大变化时，系统特征根在S平面上移动的轨迹，它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。

根轨迹方程：假设开环传递函数中有m个零点和n个极点

    

2，根轨迹的绘制法则

2.1 常规根轨迹的绘制法则

    1，根轨迹的分支数，对称性和连续性

    根轨迹的分支数与开环有限零点和有限极点n中的大者相同，他们是连续的并且对称于实轴。

    一般地，有n>=m成立，所以

    分支数=闭环极点个数=开环极点个数=系统阶数

    2，根轨迹的起点与终点

    K*=0时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点；

    K*=nif 时对应的根轨迹的点称为根轨迹的终点。

• 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
• 若开环零点数m小于开环极点数N，则有n-m条根轨迹终于无穷远处。

   3，根轨迹在实轴上的分布情况

    实轴上某线段右边的开环零，极点总数为奇数时，则这段实轴为根轨迹上的点。

    对实轴根轨迹上的任一点S1来说，其左边的开环零,极点到S1点的相角总是pai，因而只有奇数个开环零，极点才会满足相角方程。

    共轭零极点到S1点的相角之和是0或+-2pai

第五章 控制系统的频率响应

    频率响应法是在频域里对系统进行分析和设计的一种方法，主要采用图解法。

• 可以根据系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性，而不必求解特征方程。
• 很容易研究系统的结构和参数变化对系统性能的影响，并可指出改善系统性能的途径，便于对系统进行校正。
• 提供了一种通过实验建立元件或系统数学模型的方法。