Java数据结构中堆的向下和向上调整解析

一、关于堆

JDK1.8中的PriortyQueue(优先级队列)底层使用了堆的数据结构,而堆实际就是在完全二叉树的基础之上进行了一些元素的调整。

1.堆的概念

堆有最大堆和最小堆之分。
最大(最小)堆是一棵每一个节点的元素都不小于(大于)其孩子(如果存在)的元素的树。大堆是一棵完全二叉树,同时也是一棵最大树。小堆是一棵完全二叉树,同时也是一棵最小树。
注意: 堆中的任一子树也是堆,即大堆的子树也都是大堆,小堆亦是。

Java数据结构中堆的向下和向上调整解析_第1张图片

2.堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
堆总是一颗完全二叉树

3.堆的存储方式

由堆的概念可知,堆是一颗完全二叉树,因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。
注意:对于非完全二叉树,则不适合使用顺序方式进行存储,因为为了能够还原二叉树,空间中必须要能够存储空结点,就会导致空间利用率比较低

二、堆的创建

1.堆向下调整

对于给出的一个数据,如何将其创建为堆呢?例如下图:

Java数据结构中堆的向下和向上调整解析_第2张图片

仔细观察上图后发现:根结点的左右子树已经完全满足堆的性质,因此只需将根结点向下调整好即可。
以小堆为例:

1.让parent标记需要调整的结点,child标记parent的左孩子(注意:parent如果有孩子一定是先有左孩子)
2.如果parent的左孩子存在,即child

parent右孩子是否存在,如果存在则找出左右孩子中较小的孩子,使用child进行标记
将parent与较小的孩子(也就是此时的child)比较,如果:

parent小于较小的孩子child,这个结点已经调整
否则:将parent与child进行交换,交换成功后,这时parent中大的元素已经向下移动,可能会导致子树不满足堆的特性,就需要继续向下调整,即parent=child,child=parent*2+1,然后循环起来

图解如下:

Java数据结构中堆的向下和向上调整解析_第3张图片

代码实现:

    private void shiftDown(int parent){
        //默认让child先标记左孩子---因为:parent可能有左没有右
        int child=parent*2+1;

        //while循环条件可以保证:parent的左孩子一定存在
        //             但是不能保证parent的右孩子是否存在
        while(childarray[child]){
                swap(parent,child);

                //大的双亲往下走,可能会导致子树又不满足堆的特性
                //因此需要继续往下调整
                parent=child;
                child=parent*2+1;
            }else{
                //以parent为根的二叉树已经是堆了
                return;
            }
        }
    }

注意: 在调整以parent为根的二叉树时,必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度(看最坏的情况): 从根一路比较到叶子,比较的次数为完全二叉树的高度,即时间复杂度为O(logn)。

2.堆的创建

向下调整的情况只能针对左右子树已经是堆了才可以调整,那假如根结点的左右子树不满足堆的特性,又该如何调整呢?例如下图:

Java数据结构中堆的向下和向上调整解析_第4张图片

我们要从3这里的位置开始向下调整,然后逐渐向前依次向上调整
3这个位置很特殊,他是二叉树倒数第一个非叶子结点
步骤:

1.找到倒数第一个非叶子结点
2.从该结点位置开始往前一直到根结点,每遇到一个结点就使用向下调整

代码实现:

public static void createHeap(int[] array){
    //注意:倒数第一个非叶子节点刚好是最后一个节点的双亲
    //最后一个结点的编号是size-1,倒数第一个非叶子节点的下标为(size-1-1)/2
    int lastLeafParent=(size-2)/2;
    //从倒数第一个非叶子节点位置开始,一直到根节点的位置,使用向下调整
    for(int root=lastLeafParent;root>=0;root--){
       shiftDown(root);
    }
}

建堆的时间复杂度:
因为堆是完全二叉树,满二叉树也是完全二叉树,为了简化计算,此处使用满二叉树来证明:
假设满二叉树高度h

第一层:20个结点,需要向下移动h-1层
第二层:21个结点,需要向下移动h-2层
第二层:22个结点,需要向下移动h-3层
…以此类推就可以求出所有的移动步数:每一层结点数与对应移动层数相乘再整体相加
然后再利用一定的数学巧妙运算(此处省略那些繁琐的数学公式,属实是头大)就得出T(n)=n=log(n+1)≈n

因此:建堆的时间复杂度为O(N)。

三、向上调整

向上调整主要的应用场景就是在堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤:

1.先将元素插入到堆的末尾,即最后一个孩子之后
2.插入后如果堆的性质遭到破坏,将最后新插入的节点向上调整,直到满足堆的性质

Java数据结构中堆的向下和向上调整解析_第5张图片

代码实现:

    private void shiftUp(int child){
        int parent=(child-1)/2;

        while(child!=0){
            if(array[child] 
 

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