毫米波雷达测距、测角、测速 (原理梳理)

(1) 毫米波雷达测距（原理）

1. 几个基本概念

• 线性调频信号
• 匹配滤波器

毫米波雷达使用线性调频信号作为发射信号，使用匹配滤波器来提高接收回波的信噪比。

• 线性调频测距的框图如下，主要分为四步
  • 合成器产生线性调频信号。
  • 线性调频信号由天线发射。
  • 信号反射回来由接收天线接收。
  • 接收信号与发射信号混频产生中频信号。
    

2. 原理说明

• 假设发射信号为
  $$s(t)=A_e\exp [j2\pi (f_{c}t+\frac{1}{2}\mu t^2)]$$
  其中 $f_c$ 表示雷达载频， $\mu$ 表示调频斜率。
• 接收信号可以表示成为
  $$r(t)=A_r\exp [j2\pi (f_c(t-\tau )+\frac{1}{2}\mu (t-\tau {)}^2)]$$
  其中 $\tau$ 表示回波的瞬时延时 $\tau =2R_0/c$ 。
• 经过混频、滤波之后可以得到输出表达式
  $$Q(t)=s(t)\times r^{\ast }(t)=A\exp [j2\pi (f_{R}t+\varphi )]$$
  其中 $$f_R=\mu \tau =\mu \frac{2R_0}{c}$$
  通过对距离维做 FFT 就可以求出 $f_R$ 的值，根据 $f_R$ 的值就可以得到距离 $R_0$ 。
• 从直观的角度理解就是发射信号与接收信号之间存在一个恒定的常数差，这个差恰好为 $\mu \tau$。
  

3. 两个重要指标

• 雷达的距离分辨率

正常的情况应该和第一张图相同，这样可以比较好的分辨目标，当出现第二张图的情况时就会导致物体无法被区分，所以这里就涉及到距离分辨率问题。
⭐️ 距离分辨率公式：$$d_{res}=\frac{c}{2B}$$
从公式中可以看出：带宽越大，距离分辨率越好。

• 雷达的最大不模糊距离
  ADC的采样率（$f_s$）限制了雷达的最大不模糊距离：$$d_{max}=\frac{f_{s}c}{2\mu }$$

(2) 毫米波雷达测速（原理）

1. 多普勒效应

• 雷达的距离分辨率

对于运动的目标，发射信号与接收信号之间存在频率差 $\Delta f$ 而这个频率差就称为多普勒频率 $$f_d=\frac{2v_r}{\lambda }$$
注意此时发射信号从发出到反射后接收到回波信号的传播时延 $$\tau =\frac{2(R_0-v_{r}t)}{c}$$

2. 测速原理

• 根据上面测距的推导，可以得到如下的公式
  $$Q(t)=s(t)\times r^{\ast }(t)=A\exp [j2\pi (f_c\tau -\frac{1}{2}\mu {\tau }^2+\mu \tau t)]$$
  考虑到有多个 chirp 的这种情况，对于第 $i$ 个 chirp，此时的回波时延为
  $${\tau }_i=\frac{2[R_0-v_r(i{T}_c+t)]}{c}$$
  其中 $T_c$ 对应 PRI 即脉冲重复间隔。
  由此有 $$Q(t,i)\approx A\exp [j(2\pi f_{R}t+\frac{4\pi }{\lambda }{R}_0-\frac{4\pi f_c{v}_{r}i{T}_c}{c})]$$
  对上式进行距离维 FFT （对 $t$ 操作）并将多普勒频率的表达式代入，可以得到如下的形式
  $$Q(f)\approx A_s\exp [j(\frac{4\pi }{\lambda }{R}_0-\frac{4\pi f_c{v}_{r}i{T}_c}{c})]=A_s\exp [j(\frac{4\pi }{\lambda }{R}_0-2\pi f_d{T}_{c}i)]$$
  其中 $A_s=sinc(f-f_R)$
  此时再对慢时间维进行 FFT （对 $i$ 操作）就可以得到关于多普勒频率的峰值进而得到目标的速度。
  最后两次 FFT 的结果实际上如下图所示：

• 本质：对快时间维进行FFT实际上是将所有信号压到同一个距离维上，然后对慢时间维进行 FFT 就是在同一个距离维上将速度解算出来。

3. 两个重要指标

• 雷达的速度分辨率：
  $$v_{res}=\frac{\lambda }{2N{T}_c}=\frac{\lambda }{2T_f}$$
  其中 $T_f=N{T}_c$ 表示一帧的时间
  
  这说明波长越短，一帧的时间越长雷达的速度分辨率越高。
• 雷达最大不模糊速度：
  $$v_{\max }=\frac{\lambda }{4T_c}$$
  测速实际上依据的是相位关系，最大不模糊速度的制约量为相位差，需要保证相位差介于正负 180°，并且可以从公式看出来，更高的最大不模糊速度需要更密集的 chirp（更大的 $T_c$）。

（3）毫米波雷达测角（原理）

1. MIMO雷达

• 基于多阵元天线，MIMO 雷达采用 M 个通道发射互相正交的信号，多波形信号在空间保持独立，经过目标的散射，被 N 个接收阵元接收，每个阵元都采用 M 个匹配滤波器对回波进行匹配，从而可以得到 M $\times$ N 个通道的回波数据。

• 采用MIMO雷达技术，可以形成一个具有发射天线数量与接收天线数量乘积的虚拟接收天线的阵元，能够非常简单有效的改善雷达的角度分辨率。

2. 测角原理

• 最简单的角度测算原理如下：

由距离差引起的两个接收天线信号的相位差为 $$\omega =\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta$$ 从而可以得到 $$\theta ={\sin }^{-1}(\frac{\omega \lambda }{2\pi d})$$

• 使用数字波束形成（DBF）测角：
  假设雷达前方有 K 个反射信号，雷达阵列天线N个阵元组成，阵元数等可以等效为通道数，所以N个阵元接收到反射信号之后，分别经过各自的传输通道，所以最终可以得到来自N个通道的反射信号的数据。

  
  • 第一个接收天线接收到的单个反射信号 $s_k(t)=A^{(k)}{e}^{j\omega t}$ 。
  • 第一个接收天线实际上接收到的反射信号为 K 个反射信号之和 $$x_1(t)=\sum _{k=1}^K{s}_k(t)$$
  • 考虑上噪声可以得到，第 m 个天线阵元的接收信号可以表示为
    $$x_m(t)=\sum _{k=1}^K{s}_k(t-t_{mk})+n_m(t)=\sum _{k=1}^K{s}_k(t)e^{-j\omega t_{mk}}+n_m(t)$$
    其中 $$t_{mk}=\frac{d_m\sin {\theta }_k}{c},d_m=d(m-1)$$
    可以写成矩阵形式：
  

表示成矢量形式：$$\mathbf{X}(t)=\mathbf{A}\mathbf{S}(t)+\mathbf{N}(t)$$注意 $\mathbf{A}$ 表示导向矢量矩阵，且 $\mathbf{A}=[\mathbf{a}({\theta }_1)\mathbf{a}({\theta }_2)\cdots \mathbf{a}({\theta }_K)]$。假设信号的来波方向为 $\theta$ ，则在该方向的导向矢量为 $$\mathbf{a}(\theta )=[1,e^{-j\omega d\sin \theta /c},\cdots ,e^{-j\omega (N-1)d\sin \theta }]$$
加权天线阵的输出为 $$y(t)={\mathbf{W}}^H\mathbf{X}(t)=\mathbf{S}(t){\mathbf{W}}^H\mathbf{a}(\theta )+{\mathbf{W}}^H\mathbf{N}(t)$$
其中 $\mathbf{W}=[W_1,W_2,\cdots ,W_N{]}^T$ 为 DBF 的权矢量，当 $\mathbf{W}=\mathbf{a}({\theta }_0)$ 的时候，表示对某个方向为 ${\theta }_0$ 的信号同相相加，此时输出 $y(t)$ 的模值最大，相当于选择方向角 $\theta ={\theta }_0$($H$ 表示取共轭转置)。

3. 两个重要指标

• 最大无模糊角度：
  $${\theta }_{\max }={\sin }^{-1}(\frac{\lambda }{2d})$$
• 角度分辨率：
  $${\theta }_{res}\approx \frac{2}{N}(rad)$$
  MIMO 改善的就是 N 的大小，例如两发四收的阵列它的N = 2 $\times$ 4 = 8.

这里给出仿真代码：雷达仿真程序及文档Matlab.zip