通信原理习题：已知（7，3）线性分组码的生成矩阵为G，求其监督矩阵，写出该（7，3）码的系统码，并判断其纠检错能力

题目：
已知（7，3）线性分组码的生成矩阵为G（如下图），求其监督矩阵，写出该（7，3）码的系统码，并判断其纠检错能力

解：（1）
（7，3）线性分组码，则信息位为3位，监督位为4位。
先将该生成矩阵G化成典型阵，将第一行与第三行进行模二加法（对应位进行异或运算）生成新的第一行，在将第二行与新的第一行进行模二加法，得到典型阵G。

则监督矩阵H为：
（2）
信息码组为 M =[m2 m1 m0]
A=MG=[m2 m1 m0 m2+m0 m2+m1+m0 m2+m1 m1+m0]
（此处的加法都是模二加）
综上：

（3）
两个等长码对应位不同的数目为码距，两两码字之间都有一个码距，纠检错能力由最小码距决定。
由（2）可知所有码字中最小的码距为4，即d0=4。
当用于检错时：d0≥e+1，因此可得e≤3， 故最多可检测3个错误；
当用于纠错时：d0≥2t+1，因此可得t≤1，故最多可以纠正一个错误；
当同时用于纠错检错时：d0≥e+t+1，其中e>t，因此最多可以同时进行2个检错和1个纠错。