线性代数的本质（一）

前言

“数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好。”----华罗庚
本系列是youtube博主3Blue1Brown数学科普视频中的线性代数本质系列的学习记录，视频讲的非常棒，可以在YouTube或b站观看。

1、向量究竟是什么？

向量可以看做成一个落在坐标系中的箭头，这个箭头的起点为坐标系的原点。向量也表示有序的数字列表，如下图所示，在二维坐标系中，向量由原点出发指向（-2，3）代表向量先沿着y轴负方向走2个单位，再沿x轴正方向走3个单位。每一个向量都对应一对数。

同理，如下图所示，在高维坐标系中也适用。

1）向量加法

我们可以把每个向量看成一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定的距离。因此，如果你先沿着第一个向量所描述的方向运动，再按照第二个向量所描述的方向运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。

1）向量数乘

向量数乘也很好理解，乘一个正数就是把这个向量缩放相应的倍数；乘一个负数就是先把这个向量反向后再进行缩放。

2、线性组合、张成的空间和基

1）基

首先，想象空间中有两个特殊的向量，一个指向正右方，长度为1；另一个指向正上方长度也为1。接下来，把一个向量（3，-2）的x，y坐标想象为标量，它们分别把i帽和j帽拉伸缩放，把i帽拉伸为原来的的3倍，j帽反向后拉伸为原来的2倍，从这个角度看向量(3,-2)是i帽和j帽分别经过缩放后的和。i与j就是xy坐标系的一组基向量，值得一提的是我们可以选择不同的基向量，因此，每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。

2）线性组合

两个数乘向量的和称为两个向量的线性组合。

线性这个词又是从哪来的呢？这跟直线又有什么关系呢？我们可以这样来看：如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化。所产生的向量终点会描出一条直线。演示如下图。

3）张成的空间

所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合被称为给定向量张成的空间。

对大部分二维向量来说，它们张成的空间是所有二维向量的集合，但当它们共线时，张成的空间为一条直线；当它们都为零向量是张成的空间为原点。
同理，在三维空间中，两个三维向量张成的空间是一个平面，三个三维向量在不共面时张成整个三维空间，效果如下图所示。

另外，当你考虑单个向量时你就把它想象成一个箭头，当你考虑多个向量时，你就把他们想象成多个坐标点。

4）线性相关与线性无关

想象你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减少张成的空间，当这种情况发生时，我们称它们是线性相关的。另一种表述方法是其中一个向量可以表示为其它向量的线性组合，因为这个向量已经落在其它向量张成的空间中了。

另一方面，如果所有向量都给张成的空间增加了新的维度，他们就被称为是线性无关的。