数理统计复习笔记七——列联表的独立性检验

1. 一般的二维列联表

	$B_1$	$B_2$	$\cdots$	$B_s$	合计
$A_1$	$n_{11}$	$n_{12}$	$\cdots$	$n_{1s}$	$n_{1\cdot }$
$A_2$	$n_{21}$	$n_{22}$	$\cdots$	$n_{2s}$	$n_{2\cdot }$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\cdots$	$⋮$	$⋮$
$A_r$	$n_{r1}$	$n_{r2}$	$\cdots$	$n_{rs}$	$n_{r\cdot }$
合计	$n_{\cdot 1}$	$n_{\cdot 2}$	$\cdots$	$n_{\cdots }$	$n$

其中，$n_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{n}_{ij}$，$n_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{n}_{ij}$，此时指标$A,B$分别有$r,s$个水平，且以$n_{ij}$表示在$n$个样本中属于$A_i\cap B_j$的样本个数。

2. 假设

考虑两个指标之间是否独立，即$$H_0:指标A与B独立或指标A与B没有关系\text{\hspace{1em}(1)}$$
如记$p_{ij}=P\{X\in A_i\cap B_j\}$，则这$n$个样本可以看成来自多项分布$X$的样本。

再记$p_{i\cdot }=P\{X\in A_i\},i=1,\cdots ,r$，$p_{\cdot j}=P\{X\in B_j\},j=1,\cdots ,s$，则有$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{p}_{ij}$，$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{p}_{ij}$，且有如下约束$$\sum _{i=1}^r{p}_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{p}_{\cdot j}=1\text{\hspace{1em}(2)}$$

当$H_0$成立时，应该有$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$，于是假设$(2)$等价于$$H_0:p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}\text{\hspace{1em}(3)}$$

3.检验

由于我们可以把上述列联表数据看作时多项分布的样本，故可以用${\chi }^2$拟合优度检验对其独立性假设$(3)$进行显著性检验。

不过由于$p_{i\cdot }$和$p_{\cdot j}$均未知，且有约束$(2)$，故当$H_0$成立时，共有$r+s-2$个未知参数，此时，其未知参数的极大似然估计为$${\hat{p}}_{i\cdot }=\frac{n_{i\cdot }}{n},{\hat{p}}_{\cdot j}=\frac{n_{\cdot j}}{n}$$

于是有统计量为$${\chi }^2=n\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\frac{(n_{ij}-\frac{n_{i\cdot }{n}_{\cdot j}}{n}{)}^2}{n_{i\cdot }{n}_{\cdot j}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

且当$H_0$成立及$n\to \infty$时，有${\chi }^2\to {\chi }^2((r-1)(s-1))$
于是，拒绝域为$$W=\{{\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }^2((r-1)(s-1))\}\text{\hspace{1em}(5)}$$