数理统计复习笔记八——Kolmogorov检验

1. Kolmogorov检验

数理统计复习笔记六——Pearson卡方拟合优度检验说明了 χ 2 \chi^2 χ2拟合优度检验,如果分点选的不是很好,可能会把两个有一定差别的分布检验为没有区别,而Kolmogorov检验则可避免其不足。

由于样本经验分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)(详见样本经验分布函数)是 F ( x ) F(x) F(x)的一个很好的估计,故当 H 0 : F ( x ) ≡ F 0 ( x ) (1) H_0:F(x)\equiv F_0(x)\tag1 H0:F(x)F0(x)(1)成立时, F n ( x ) F_n(x) Fn(x) F ( x ) F(x) F(x)应该相差不大,于是可以用统计量 D n = sup ⁡ x ∣ F n ( x ) − F ( x ) ∣ (2) D_n=\sup_x\mid F_n(x)-F(x)\mid\tag2 Dn=xsupFn(x)F(x)(2)
来衡量 F n ( x ) F_n(x) Fn(x) F ( x ) F(x) F(x)之间的差别,且拒绝域为 { D n ≥ c } \{D_n\ge c\} { Dnc}。当 F 0 F_0 F0连续且 H 0 H_0 H0成立时, D n D_n Dn的精确分布是已知的,不过比较复杂。

2. Kolmogorov检验与 χ 2 \chi^2 χ2拟合优度检验的对比

  • F 0 ( x ) F_0(x) F0(x)为完全已知的连续分布时,Kolmogorov检验优于 χ 2 \chi^2 χ2拟合优度检验,但如果 F 0 ( x ) F_0(x) F0(x)是离散型的或含有未知参数,则Kolmogorov检验无法使用
  • F 0 ( x ) F_0(x) F0(x)是离散型的或含有未知参数, D n D_n Dn的精确分布是未知的,所以Kolmogorov检验无法使用,但 χ 2 \chi^2 χ2拟合优度检验可以使用(如果 F 0 ( x ) F_0(x) F0(x)是正态分布和指数分布的分布函数,有人给出了 D n D_n Dn的分布)
  • 对于两样本分布假设检验问题,即设 X 1 , ⋯   , X m X_1,\cdots,X_m X1,,Xm Y 1 , ⋯   , Y n Y_1,\cdots,Y_n Y1,,Yn为分别来自总体 F F F G G G I I D IID IID样本,且全样本独立,则可以用统计量 D m n = sup ⁡ x ∣ F n ( x ) − G m ( x ) ∣ (3) D_{mn}=\sup_x\mid F_n(x)-G_m(x)\mid\tag3 Dmn=xsupFn(x)Gm(x)(3)进行分布检验,且拒绝域为 D m n ≥ c D_{mn}\ge c Dmnc,其中, F n ( x ) F_n(x) Fn(x) G m ( x ) G_m(x) Gm(x)分别表示总体 X , Y X, Y X,Y的经验分布函数。由于 S m i r n o v Smirnov Smirnov给出了此统计量的极限分布,于是称之为 K o l m o g o r o v − S m i r n o v Kolmogorov-Smirnov KolmogorovSmirnov检验
  • Kolmogorov检验很难处理多维数据的分布检验,而 χ 2 \chi^2 χ2拟合优度检验则与一维类似

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