数理统计复习笔记八——Kolmogorov检验

1. Kolmogorov检验

数理统计复习笔记六——Pearson卡方拟合优度检验说明了${\chi }^2$拟合优度检验，如果分点选的不是很好，可能会把两个有一定差别的分布检验为没有区别，而Kolmogorov检验则可避免其不足。

由于样本经验分布函数$F_n(x)$(详见样本经验分布函数)是$F(x)$的一个很好的估计，故当$$H_0:F(x)\equiv F_0(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$成立时，$F_n(x)$与$F(x)$应该相差不大，于是可以用统计量$$D_n=\underset{x}{\sup }\mid F_n(x)-F(x)\mid \text{\hspace{1em}(2)}$$
来衡量$F_n(x)$与$F(x)$之间的差别，且拒绝域为$\{D_n\ge c\}$。当$F_0$连续且$H_0$成立时，$D_n$的精确分布是已知的，不过比较复杂。

2. Kolmogorov检验与${\chi }^2$拟合优度检验的对比

• 当$F_0(x)$为完全已知的连续分布时，Kolmogorov检验优于${\chi }^2$拟合优度检验，但如果$F_0(x)$是离散型的或含有未知参数，则Kolmogorov检验无法使用
• 当$F_0(x)$是离散型的或含有未知参数，$D_n$的精确分布是未知的，所以Kolmogorov检验无法使用，但${\chi }^2$拟合优度检验可以使用（如果$F_0(x)$是正态分布和指数分布的分布函数，有人给出了$D_n$的分布）
• 对于两样本分布假设检验问题，即设$X_1,\cdots ,X_m$和$Y_1,\cdots ,Y_n$为分别来自总体$F$和$G$的$IID$样本，且全样本独立，则可以用统计量$$D_{mn}=\underset{x}{\sup }\mid F_n(x)-G_m(x)\mid \text{\hspace{1em}(3)}$$进行分布检验，且拒绝域为$D_{mn}\ge c$，其中，$F_n(x)$和$G_m(x)$分别表示总体$X,Y$的经验分布函数。由于$Smirnov$给出了此统计量的极限分布，于是称之为$Kolmogorov-Smirnov$检验
• Kolmogorov检验很难处理多维数据的分布检验，而${\chi }^2$拟合优度检验则与一维类似