Python中的随机采样和概率分布(二)

在上一篇博文《Python中的随机采样和概率分布(一)》(链接：https://www.cnblogs.com/orion-orion/p/15647408.html)中，我们介绍了Python中最简单的随机采样函数。接下来我们更进一步，来看看如何从一个概率分布中采样，我们以几个机器学习中最常用的概率分布为例。

1. 二项（binomial）/伯努利（Bernoulli）分布

1.1 概率质量函数(pmf)

\[P(X = x;\space n, \space p)=\left(\begin{array}{c}n \\ x\end{array}\right) p^{x}(1-p)^{n-x}\\ x=0,1,2,...n; \space 0\leqslant p \leqslant 1 \]

当\(n=1\)时，则取到下列极限情况，是为参数为\(p\)的二项分布：

\[P(X = x;\space p)= p^{x}(1-p)^{1-x}\\ x=0,1; \space 0\leqslant p \leqslant 1 \]

二项分布\(P(X = x;\space n, \space p)\)可以表示进行独立重复试验\(n\)次，每次有两成功和失败可能结果（分别对应概率\(p\)和\(1-p\)），共成功\(x\)次的概率。

1.2 函数原型

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random.binomial(n, p, size=None)

参数：
n: int or array_like of ints   对应分布函数中的参数 n，>=0，浮点数会被截断为整形。
p: float or array_like of floats   对应分布函数参数\(p\), >=0并且<=1。
size: int or tuple of ints, optional   如果给定形状为\((m, n, k)\)，那么\(m\times n \times k\)个随机样本会从中抽取。默认为None，即返回一个一个标量随机样本。

返回：
out: ndarray or scalar  从带参数的概率分布中采的随机样本，每个样本表示独立重复实验\(n\)次中成功的次数。

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1.3 使用样例

设进行独立重复实验10次，每次成功概率为0.5，采样样本表示总共的成功次数（相当于扔10次硬币，正面朝上的次数）。总共采20个样本。

import numpy as np
n, p = 10, .5  
s = np.random.binomial(n, p, 20)
print(s) # [4 5 6 5 4 2 4 6 7 2 4 4 2 4 4 7 6 3 5 6]

可以粗略的看到，样本几乎都在5周围上下波动。
我们来看一个有趣的例子。一家公司钻了9口井，每口井成功的概率为0.1，所有井都失败了，发生这种情况的概率是多少？
我们总共采样2000次，来看下产生0结果的概率。

s = sum(np.random.binomial(9, 0.1, 20000) == 0)/20000.
print(s) # 0.3823

可见，所有井失败的概率为0.3823，这个概率还是蛮大的。

2. 多项（multinomial）分布

2.1 概率质量函数(pmf)

\[P(\bm{X} = \bm{x};\space n, \space \bm{p})=\frac{n !}{x_{1} ! \cdots x_{k} !} p_{1}^{x_{1}} \cdots p_{k}^{x_{k}}\\ \bm{x}=(x_1, x_2, ..., x_k), x_i \in \{0, ..., n\}, \space \sum_{i}{x_i}=n; \\ \bm{p}=(p_1, p_2, ..., p_k), 0\leqslant p_i \leqslant 1, \space \sum_{i}{p_i}=1 \]

当\(k=2\)时，则取到下列极限情况，是为参数为\(n\), \(p\)的二项分布：

\[P(X = x;\space n, \space p)=\frac{n !}{x !(n-x) !} p^{x}(1-p)^{n-x}\\ x=0,1,2,...n; \space 0\leqslant p \leqslant 1 \]

也就是说，多项分布式二项分布的推广：仍然是独立重复实验\(n\)次，但每次不只有成功和失败两种结果，而是\(k\)种可能的结果，每种结果的概率为\(p_i\)。多项分布是一个随机向量的分布，\(\bm{x}=(x_1, x_2, ..., x_k)\)意为第\(i\)种结果出现\(x_i\)次，\(P(\bm{X} = \bm{x};\space n, \space p)\)也就表示第\(i\)种结果出现\(x_i\)次的概率。

2.2 函数原型

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random.multinomial(n, pvals, size=None)

参数：
n: int   对应分布函数中的参数 n。
pvals: sequence of floats   对应分布函数参数\(\bm{p}\), 其长度等于可能的结果数\(k\)，并且有\(0 \leqslant p_i \leqslant 1\)。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上\(k\)，如果给定形状为\((m, n)\)，那么\(m\times n\)个维度为\(k\)的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个\(k\)维的随机向量。

返回：
out: ndarray   从带参数的概率分布中采的随机向量，长度为可能的结果数\(k\)，如果没有给定 size，则shape为 (k,)。

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2.3 使用样例

设进行独立重复实验20次，每次情况的概率为1/6，采样出的随机向量表示每种情况出现次数（相当于扔20次六面骰子，点数为0, 1, 2, ..., 5出现的次数）。总共采1个样本。

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=1)
print(s) # [[4 2 2 3 5 4]]

当然，如果不指定size，它直接就会返回一个一维向量了

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6)
print(s) # [4 1 4 3 5 3]

如果像进行多次采样，改变 size即可：

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=(2, 2))
print(s)
# [[[4 3 4 2 6 1]
#   [5 2 1 6 3 3]]

#  [[5 4 1 1 6 3]
#   [2 5 2 5 4 2]]]

这个函数在论文[1]的实现代码[2]中用来设置每一个 client分得的样本数：

for cluster_id in range(n_clusters): 
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)
    # 一共扔clusters_sizes[cluster_id]次筛子，该函数返回骰子落在某个client上各多少次，也就对应着该client应该分得的样本数

3.均匀（uniform）分布

3.1 概率密度函数(pdf)

\[p(x; \space a, \space b)=\frac{1}{b-a} \]

均匀分布可用于随机地从连续区间\([a, b)\)内进行采样。

3.2 函数原型

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random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)

参数：
low: float or array_like of floats, optional   对应分布函数中的下界参数 a，默认为0。
high: float or array_like of floats   对应分布函数中的下界参数 b，默认为1.0。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，如果给定形状为\((m, n, k)\)，那么\(m\times n\times k\)的样本会从中抽取。默认为None，即返回一个单一标量。

返回：
out: ndarray or scalar   从带参数的均匀分布周采的随机样本

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3.3 使用样例

s = np.random.uniform(-1,0,10)
print(s)
# [-0.9479594  -0.86158902 -0.63754099 -0.0883407  -0.92845644 -0.11148294
#  -0.19826197 -0.77396765 -0.26809953 -0.74734785]

4. 狄利克雷(Dirichlet)分布

4.1 概率密度函数(pdf)

\[P(\bm{x}; \bm{\alpha}) \propto \prod_{i=1}^{k} x_{i}^{\alpha_{i}-1} \\ \bm{x}=(x_1,x_2,...,x_k),\quad x_i > 0 , \quad \sum_{i=1}^k x_i = 1\\ \bm{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2,..., \alpha_k). \quad \alpha_i > 0 \]

4.2 函数原型

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random.dirichlet(alpha, size=None)

参数：
alpha: sequence of floats, length k   对应分布函数中的参数向量 \(\alpha\)，长度为\(k\)。
size: int or tuple of ints, optional   为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上\(k\)，如果给定形状为\((m, n)\)，那么\(m\times n\)个维度为\(k\)的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个\(k\)维的随机向量。

返回：
out: ndarray   采出的样本，大小为\((size, k)\)。

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4.3 使用样例

设\(\bm{\alpha}=(10, 5, 3)\)(意味着\(k=3\))，\(size=(2, 2)\)，则采出的样本为\(2\times 2\)个维度为\(k=3\)的随机向量。

s = np.random.dirichlet((10, 5, 3), size=(2, 2))
print(s)
# [[[0.82327647 0.09820451 0.07851902]
#   [0.50861077 0.4503409  0.04104833]]

#  [[0.31843167 0.22436547 0.45720285]
#   [0.40981943 0.40349597 0.1866846 ]]]

这个函数在论文[1]的实现代码[2]中用来生成符合狄利克雷分布的权重向量

for cluster_id in range(n_clusters): 
    # 为每个client生成一个权重向量，文章中分布参数alpha每一维都相同
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)

参考文献

• [1] Marfoq O, Neglia G, Bellet A, et al. Federated multi-task learning under a mixture of distributions[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2021, 34.
• [2] https://github.com/omarfoq/FedEM
• [3] https://www.python.org/
• [4] https://numpy.org/