剑指 Offer 60：n个骰子的点数

题目

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把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。
示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

解题

方法一：回溯(超时)

需要多少个n，就要多少次for循环，这显然是不行的，因此可以使用回溯，进行暴力循环。
题目中限制n最大为11，也就是O(n^11)复杂度，这个显然是会超时的。

class Solution {
     
public:
    vector<int> count;
    void backtraing(int n,int k,int sum){
     
        if(k==n){
     
            count[sum]++;
            return;
        }
        for(int i=1;i<=6;i++){
     
            sum+=i;
            backtraing(n,k+1,sum);
            sum-=i;
        }
    }
    vector<double> dicesProbability(int n) {
     
        count.resize(n*6+1);//可存储 结果为0~6*n 出现的次数
        backtraing(n,0,0);
        vector<double> vec(count.begin()+n,count.end());//只需要结果为n~6*n


        double sum=accumulate(vec.begin(),vec.end(),0);//求和
        for(double& num:vec) num/=sum;//计算概率
         
        return vec;

    }
};

方法二：动态规划

参考链接

设f(n,x)为n个骰子，点数和为x的概率。
可以通过n-1骰子的结果去推出当前,f(n,x)的概率。
$$f(n,x)=f(n-1,x-1)\ast \frac{1}{6}+f(n-1,x-2)\ast \frac{1}{6}+....+f(n-1,x-6)\ast \frac{1}{6}$$
由于$f(n-1,x-i)$中的$x-i$存在越界的情况，比如出现负数。可以通过正向来避免这种情况
即$f(n-1,x)$可以推出对$f(n,x+i)$的贡献,对这些贡献累加即可。

代码实现的注意点：
比如n=2的时候，和的范围是2 ~ 12,个数为11个，因此个数为5*n+1，每个值对应索引为0 ~ 5 * n
这样是为了节约空间。还可以利用dp.size()来控制循环。

class Solution {
     
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
     
        vector<double> dp(6,1/6.0);
        for(int i=2;i<=n;i++){
     
            vector<double> tmp(5*i+1,0);
            for(int j=0;j<dp.size();j++){
     
                for(int k=0;k<6;k++){
     
                    tmp[j+k]+=dp[j]/6.0;
                }
            }
            dp=tmp;
        }
        return dp;
    }
};