机器学习--支持向量机

支持向量机（SVM）和支持向量机回归（SVR） - 知乎

机器学习工程师面试宝典-第一章-绪论 - 知乎

支持向量机基本概念

支持向量机”（ SVM ）是一种有监督的机器学习算法，以 最大间隔 分类为原则，寻找最优决策边界的算法。

SVM 计算量略大适合应用于 复杂但中小规模数据集 的分类问题。

什么是超平面？：区分两个类别的界线（决策边界）

什么是支持向量？：每个类别中距离超平面最近的点

什么是最合适的超平面？：具有最大分类间隔的决策边界

 

一个经验的法则来识别正确的超平面：“选择更好的可以隔离两个类别的超平面” 。

支持向量机原理

Ø 两类数据（圆圈和五角星）

Ø 每个数据样本包含两个特征（ 1 ,  2x_1, x_2 ）

Ø 对于无数条线性可分的界线，哪个最好？

• 取最大化点到界线距离最小值的那条界线

 

 

 

 基本概念：

• 实线叫做 判定边界 。

• 虚线叫做 最大 间隔 分类 。

• 最大间隔分类上 的点叫做 支持向量 。

 

 场景1

 

 

如何选择正确的超平面， A or B ？

这里注意，虽然超平面 B 可以最大化支持向量与判别界线的距离，但是相比于 A ， B 存在一个分类错误，所以正确的超平面是 A 。

这种必须要把所有数据 都严格的被 正确划分的间隔
叫做 硬间隔 。

场景2

如何 画 出如下两个类别的超平面？

• 图中存在一个异常值

• 由于异常值的存在，导致无法画出一个线性间隔区分如下两类。

硬 间隔的缺陷：

• 只对线性可分的数据起作用

• 对异常点 敏感

SVM 支持 软间隔

• 可以允许部分数据点分类错误

•ξ 叫做松弛因子， C 是惩罚因子，也叫正则化强度

• 使用 惩罚 因子 来调节软间隔程度。惩罚 因子 越 大，说明对分类 越严格 ，正确率越高，对异常值越敏感。相反，分类 越不 严格，对异常值越稳健 。

                 

 场景3

如何画出如下两个类别的超平面？

        •显然，只使用之前的线性超平面是无法正确分类的

SVM通过引入额外的特征来解决以上问题。

        •添加一个新特征3=12+22x_3=x_1^2+x_2^2。

        •绘制轴1x_1和3x_3上的数据点。

引入新特征3x_3需要注意的是：

        •3x_3的所有值都是正的，因为3x_3是1x_1和2x_2的平方和。

        •在原图中，红色圆圈出现在靠近1x_1和2x_2轴原点的位置，
导致3x_3值比较低。星形相对远离原点，导致3x_3值较高。

 

对于非线性分类问题，我们是否需要手动添加一个特征以获得超平面？

SVM有一种称为核技巧的技术。

        •通过引入核函数把低维度的输入空间转换为更高维度的空间，来解决非线性分离问题

核函数

•线性核函数

        •方案首选，奥卡姆剃刀原理

        •简单，求解快

        •可解释性强：可以轻易知道哪些feature是重要的

•多项式核

        •基本原理：依靠升维使得原本线性不可分的数据线性可分

        •可解决非线性问题

        •对于大数量级的幂数，不太适用

        •需要选择的参数较多

•高斯核

        优点：

        •可以映射到无限维

        •决策边界更为多样

        •只有一个参数，相比多项式核容易选择

缺点：

• 可解释性 差

• 计算 速度比较 慢

• 容易过拟合

•Sigmoid核

        主要用在神经网络的设计中

在实战中通常只在线性核与高斯核之间做选择

        •数据量特别大，或者数据特征维数很高，选择线性核

        •数据量中等，特征数少，选择高斯核

三种支持向量机

线性可分支持向量机

• 硬间隔

线性支持向量机

• 软间隔

非线性支持向量机

• 核函数

在python下使用SVM

sklearn.svm.SVC（只考虑分类问题）

参数详解：

        •C: float参数 默认值为1.0

                •错误项的惩罚系数。C越大，即对分错样本的惩罚程度越大，因此在训练样本中准确率越高，但是泛化能力降低，也就是对测试数据的分类准确率降低。相反，减小C的话，容许训练样本中有一些误分类错误样本，泛化能力强。对于训练样本带有噪声的情况，一般采用后者，把训练样本集中错误分类的样本作为噪声。

        •kernel: str参数默认为‘rbf’：高斯核函数，其他可选核函数如下：

                •‘linear’：线性核函数

                •‘poly’：多项式核函数

                •‘sigmod’：sigmod核函数

                •‘precomputed’：核矩阵

                –precomputed表示自己提前计算好核函数矩阵，这时候算法内部就不再用核函数去计算核矩阵，而是直接用你给的核矩阵。

•degree: int型参数，默认为3

        •这个参数只对多项式核函数有用，是指多项式核函数的阶数n。如果给的核函数参数是其他核函数，则会自动忽略该参数。

•gamma: float参数，或者{ scaler，auto}，默认为scaler ，

        •核函数系数，只对‘rbf’,‘poly’,‘sigmod’有效。控制这些核函数的拟合能力，gamma越大拟合能力越强，越容易过拟合。反之，拟合能力越弱，越容易欠拟合。

        •如果gamma为auto，代表其值为样本特征数的倒数，即1/n_features。

        •如果为scaler，gamma=1/(n_features*X.var())

•coef0：float参数，默认为0.0

        •核函数中的独立项，只有对‘poly’和‘sigmod’核函数有用，是指其中的参数c。

•probability：bool参数，默认为False

        •是否启用概率估计。 这必须在调用fit()之前启用，并且会使fit()方法速度变慢。

•shrinking：bool参数，默认为True

        •是否采用启发式收缩方式。

•tol：float参数，默认为1e^-3

        •svm停止训练的误差精度。

•cache_size：float参数，默认为200

        •指定训练所需要的内存，以MB为单位，默认为200MB。

•class_weight：字典类型或者‘balance’字符串。默认为None

        •给每个类别分别设置不同的惩罚参数C，如果没有给，则会给所有类别都给C=1，即前面参数指出的参数C.

        •如果给定参数‘balance’，则使用y的值自动调整与输入数据中的类频率成反比的权重。

•verbose：bool参数，默认为False

        •是否启用详细输出。 此设置利用libsvm中的每个进程运行时设置，如果启用，可能无法在多线程上下文中正常工作。一般情况都设为False。

•max_iter：int参数，默认为-1

        •最大迭代次数，如果为-1，表示不限制。

•random_state：int型参数，默认为None

        •伪随机数发生器的种子,在混洗数据时用于概率估计。

SVC的属性：

        •svc.n_support_：各类各有多少个支持向量

        •svc.support_：各类的支持向量在训练样本中的索引

        •svc.support_vectors_：各类所有的支持向量

莺尾花实例

为了可视化方便，只提取莺尾花数据集的头两个特征（花萼长度，花萼宽度）

使用 SVC 对莺尾花数据集进行训练，分别观察 linear 和 rbf 核函数对结果的影响；分别观察不同 gamma 值对结果的影响；分别观察不同惩罚影子对结果的影响。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import svm,datasets

iris = datasets.load_iris()
X=iris.data[:,:2]
y=iris.target

svc = svm.SVC(kernel='linear',C=1).fit(X,y)#

x_min,x_max = X[:,0].min()-1,X[:,0].max()+1
y_min,y_max = X[:,1].min()-1,X[:,1].max()+1

xx,yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min,x_max,100),np.linspace(y_min,y_max,100))

Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])      #对应的类别值
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('SVC with linear kernel')
plt.show()

 

Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contour(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
# plt.contour(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.hot, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('SVC with linear kernel')
plt.show()

svc = svm.SVC(kernel='rbf',C=1).fit(X,y)

Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('SVC with rbf kernel')
plt.show()

 

plt.figure(figsize=(25,5))
plt.subplot(1,3,1)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 1, gamma='auto').fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('gamma = auto')

plt.subplot(1,3,2)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 1, gamma=10).fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('gamma = 10')

plt.subplot(1,3,3)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 1, gamma=100).fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('gamma = 100')
plt.show()

 

plt.figure(figsize=(25,5))
plt.subplot(1,3,1)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 1).fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('C = 1')

plt.subplot(1,3,2)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 10).fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('C = 100')

plt.subplot(1,3,3)
svc = svm.SVC(kernel ='rbf',C = 1000).fit(X,y)
Z = svc.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.title('C = 1000')
plt.show()

 支持向量机解决回归问题

SVR算法

分类思想：最大化分类间隔（ 使得到超平面 与 最近的点的距离最大 ）

回归思想：最小化点与模型之间的距离（ 使得到 超平面与最 远的点的距离最小 ）

 SVR的优化问题：

 

 SVR只计算数据点落入以f(x)为中心，±ϵ范围区域外的数据点
（虚线所围成的区域外），其中(z)可以理解为点到f(x)的ϵ区域距离

 类似软间隔分类时引入的松弛因子。这里引入两个松弛因子ξ和ξ ̂，目的是尽可能让红色区域拟合数据又不容易受异常值影响。

 利用一条固定宽度的条带，覆盖尽可能多的样本点，从而使得总误差尽可能的小。

 引入两个松弛因子ξ和ξ ̂，表示对ϵ区域两边进行松弛，目的是尽可能让红色区域拟合数据又不容易受异常值影响。

利用一条固定宽度的条带，覆盖尽可能多的样本点，从而使得总误差尽可能的小。

SVR优化问题可以重写为：

 

 SVM的优缺点

优点

模型学习能力很强，对于各种数据集都有不错的表现

SVM 的解为全局最优，泛化能力强

SVM 在适合特征数较多的高维数据集。

只 使用训练集中的支持向量 ，节约 内存

缺点：

拥有大量的数据集时，SVM表现并不好，因为计算量很大，所需要的训练时间长

数据集的噪音过多时，表现不好，需要非常仔细的数据预处理和调参

核函数选择难度较大