Java数据结构和算法-动态规划算法解决背包问题

思路分析和图解

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都是无限可用)
• 这里的问题属于01背包,即每个物品最多放一个,而无限背包可以转化为01背包
• 算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据w[i](第i个物品的重量)和v[i](第i个物品的价值)来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:
  
  

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

package com.young.dynamic;

/**
 * @author Shaw_Young
 * @date 2020/5/29 22:21
 */
public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //物品的价值,这里的val[i],就是前面讲的v[i]
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包的容量
        int m = 4;
        //物品的个数
        int n = val.length;
        //创建二维数组
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
        //为了记录放入商品的情况,我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        //初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            //将第一列设置为0
            v[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            //将第一行设置为0
            v[0][i] = 0;
        }

        //根据前面得到公式来动态处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {//不处理第一行
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列
                //公式
                if (w[i - 1] > j) {//因为我们程序i是从1开始的,因此原来的公式w[i]修改成w[i-1]
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    //因为们的i是从1开始的,因此公式需要调整成
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要使用if-else来处理
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //输出一下v看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("==============================");
        //输出最后我们是放入哪些商品
        //遍历path,这样输出会把所有的放入情况都得到,其实我们只需要最后的放入情况
//        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
//                if (path[i][j] == 1) {
//                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//                }
//            }
//            System.out.println();
//        }

        int i = path.length - 1;//行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;//列的最大下标
        while (i > 0 && j > 0) {//从path的最后开始找
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i - 1];
            }
            i--;
        }
    }

}