< 排序大全系列 > 归并排序总结

< 排序大全系列 > 归并排序总结：

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导言：

在学习排序算法之前，我几乎所有的排序算法用的都是“冒泡排序法”，当我学习到数据结构的“时间复杂度”一节时深刻地感觉到了冒泡法的效率低下，所以我打算专门整理一部分笔记，用于记录排序算法的一些细节。

直观动图理解：

image

算法思想概括：

归并排序最被程序员们津津乐道的特点就是它的“分治之道”，不断地对要操作的这段数据列表进行二分，分割成小问题然后一块一块地排序，最后再一起合并。

归并排序的实现方法分为递归实现和非递归实现两种，递归主要是通过每次调用merge函数将刚刚“分而后治”的两段数据列进行融合，这也是这个单词的本意 —— 合并。

该算法的实现过程分为以下几步：

1. 申请另一块和原数据列等长的空间，用于每次拼接后有地方可以放我们排序好的结果。
2. 设定 两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
4. 重复步骤3，直到某一指针到达序列尾
5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

归并排序除了可以对数组进行排序，还可以高效的求出数组小和（即单调和）以及数组中的逆序对。

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算法思想个人理解：

归并排序的步骤无外乎 “分” 与 “治”（即排序）：

很多同学在学习某种算法的递归思想的时候，经常犯迷糊，不知道在递归什么，以什么样的循环逻辑在递归。当我在学习归并排序时，看到了 递归实现 的代码如下：

void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right)    // 递归实现的归并排序(自顶向下)
{
    if (left == right)    
        return;
    int mid = (left + right) / 2;
    MergeSortRecursion(A, left, mid);
    MergeSortRecursion(A, mid + 1, right);
    Merge(A, left, mid, right);
}

结合GIF动图示例，最开始时我们为了得到两个已经排好序的数组，就把这个需要排序的乱序数组不断地细分，乃至细分到只有一左一右的二元数组。

在代码层面上，当我们的程序第一次走进 MergeSortRecursion 函数的时候，就分叉了路线，有一条路走向了（ left -> mid ），而另一条路走向了（ mid+1 -> right ）。每一次新开岔路，都有每一层自己的 left、mid 和 right 。

这就好似一个从根部散发出去的二叉树，在最末端，没有岔路口可再分了，于是开始调用 Merge 函数排序并合并。

这样合并好的数组一个个拼凑，越拼越长，每一个数组都是已经排好序的。最后汇总到自根部往下数第二层的两个已经排好序的数组，再进行最后一次 Merge 函数的调用，整个归并排序就完成了。

这样一个自根部发散，有最后回到根部的过程，像极了一种 “回溯”。

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各项指标：

分类 -------------- 内部比较排序
数据结构 ---------- 数组
最差时间复杂度 ---- O(nlogn)
最优时间复杂度 ---- O(nlogn)
平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
所需辅助空间 ------ O(n)
稳定性 ------------ 稳定

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代码实现：

#include 
#include 

void Merge(int A[], int left, int mid, int right)// 合并两个已排好序的数组A[left...mid]和A[mid+1...right]
{
    int len = right - left + 1;
    int *temp = new int[len];       // 辅助空间O(n)
    int index = 0;
    int i = left;                   // 前一数组的起始元素
    int j = mid + 1;                // 后一数组的起始元素
    while (i <= mid && j <= right)
    {
        temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++];  // 带等号保证归并排序的稳定性
    }
    while (i <= mid)
    {
        temp[index++] = A[i++];
    }
    while (j <= right)
    {
        temp[index++] = A[j++];
    }
    for (int k = 0; k < len; k++)
    {
        A[left++] = temp[k];
    }
}

void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right)    // 递归实现的归并排序(自顶向下)
{
    if (left == right)    // 当待排序的序列长度为1时，递归开始回溯，进行merge操作
        return;
    int mid = (left + right) / 2;
    MergeSortRecursion(A, left, mid);
    MergeSortRecursion(A, mid + 1, right);
    Merge(A, left, mid, right);
}

void MergeSortIteration(int A[], int len)    // 非递归(迭代)实现的归并排序(自底向上)
{
    int left, mid, right;// 子数组索引,前一个为A[left...mid]，后一个子数组为A[mid+1...right]
    for (int i = 1; i < len; i *= 2)        // 子数组的大小i初始为1，每轮翻倍
    {
        left = 0;
        while (left + i < len)              // 后一个子数组存在(需要归并)
        {
            mid = left + i - 1;
            right = mid + i < len ? mid + i : len - 1;// 后一个子数组大小可能不够
            Merge(A, left, mid, right);
            left = right + 1;               // 前一个子数组索引向后移动
        }
    }
}

int main()
{
    int A1[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 };      // 从小到大归并排序
    int A2[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 };
    int n1 = sizeof(A1) / sizeof(int);
    int n2 = sizeof(A2) / sizeof(int);
    MergeSortRecursion(A1, 0, n1 - 1);          // 递归实现
    MergeSortIteration(A2, n2);                 // 非递归实现
    printf("递归实现的归并排序结果：");
    for (int i = 0; i < n1; i++)
    {
        printf("%d ", A1[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("非递归实现的归并排序结果：");
    for (int i = 0; i < n2; i++)
    {
        printf("%d ", A2[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

关于迭代与递归两种实现的区别：

根据 参考资料[ 4 ] 中：可视化图解，我们可以发现，在迭代实现时，程序将持续算到整个数列的最后一项，先将所有的数都规规矩矩地分好堆，再开始下一次合并，而迭代实现时，是“边排序，边合并“。

递归实现的归并排序是算法设计中分治策略的典型应用，我们将一个大问题分割成小问题分别解决，然后用所有小问题的答案来解决整个大问题。

非递归(迭代)实现的归并排序首先进行是两两归并，然后四四归并，然后是八八归并，一直下去直到归并了整个数组。

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参考资料：

1. https://www.bilibili.com/video/av9982752?from=search&seid=17733683898437050940

   B站视频：《归并排序》uploader：正月点灯笼

2. https://www.cnblogs.com/eniac12/p/5329396.html#s4

   CSDN精品博客文章：常用排序算法总结(一) Posted on 2016-03-28 22:13

3. https://www.bilibili.com/video/av25136272?spm_id_from=333.338.__bofqi.11

   [ 简单明了 ] 9种经典排序算法的可视化示例：uploader：Howard-Z

4. https://www.bilibili.com/video/av4372244?from=search&seid=17733683898437050940

   [ 排序算法可视化 ] （主要选取了 当中关于 迭代与递归 两种归并排序实现的可视化部分）uploader：earayu