题目1527：首尾相连数组的最大子数组和

本文为经典动态规划问题，数组的最大序列和和的延伸。第一次看见这个题，用了端点枚举的方法，复杂度为0(n^2)。超时严重。参考九度Online Judge_1527: 首尾相连数组的最大子数组和

这篇文章才明白O(n)的算法。

题目描述：

给定一个由N个整数元素组成的数组arr，数组中有正数也有负数，这个数组不是一般的数组，其首尾是相连的。数组中一个或多个连续元素可以组成一个子数组，其中存在这样的子数组arr[i],…arr[n-1],arr[0],…,arr[j]，现在请你这个ACM_Lover用一个最高效的方法帮忙找出所有连续子数组和的最大值（如果数组中的元素全部为负数，则最大和为0，即一个也没有选）。

输入：

输入包含多个测试用例，每个测试用例共有两行，第一行是一个整数n（1=<n<=100000），表示数组的长度，第二行依次输入n个整数（整数绝对值不大于1000）。

输出：

对于每个测试用例，请输出子数组和的最大值。

样例输入：

6

1 -2 3 5 -1 2

5

6 -1 5 4 -7

样例输出：

10

14
题目源地址：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1527

该题需要证明：对于首尾相连的数组，划去其最大子数组和包含的数组元素，剩下的子数组必然是最小子数组和。可用反证法证明：

假设对于数组list[1...n]，剩下的子数组不是最小子数组和。

由于数组是首尾相连的，我们必然可以假设S1[1...i]为剩下的子数组，S2[i+1...n]为最大子数组。(S1和S2可代表子数组和的含义)。

case1:S1>=0，则S1+S2为最大子数组和，与条件冲突。

case2:S1<0，但不是最小子数组和序列。假设Sx为最小子数组和序列。

　　　　1）如果S2包含Sx，则S2必然不等于Sx。可将S2分为三部分。S2[i+1...n] = Sl[i+1...j] + Sx[j+1...k] + Sr[k+1...n].那么由于Sx < S1.则重新组合。Sr + S1 + Sl > Sl + Sx + Sr = S2.与条件矛盾。

　　　　2）如果S1包含Sx.但不等于Sx可以将S1分为三部分。S1[1..i] = Sl[1..j] + Sx[j+1...k] + Sr[k+1...i]。那么由于Sx < S1.所以Sl+Sr = S1-Sx > 0.重新组合，则Sr + S2 + Sl > S2..与条件矛盾。

　　　　3)如果Sx横跨S1和S2.那么可以将S1和S2分别分为两部分。Sl[1...j], Sm[j+1...i], Sn[i+1...k], Sr[k+1...n].且S1= Sl + Sm;S2 = Sn +Sr;Sx = Sm +Sn..由于Sx < S1,所以Sm < Sl.那么重新排列组合后Sr + Sl > Sr + Sm。与条件矛盾。

综上所述，结论得证。

所以我们只需讨论两者情况：　1）在首尾不相连的数组中，最大子数组和max.

　　　　　　　　　　　　　　2)在首尾相连的数组中，求最大子数组和，可以先求首尾不相连的数组中，最小子数组和min。然后Sum - min即为最大子数组和。

结果即为max和Sum - min中较大者。

AC代码：

#include <stdio.h>

 

int main()

{

    int n;

        int list[100010]; 

        int max, min, sumMax, sumMin;

        int total;

    while(scanf("%d", &n) != EOF)

    {

        scanf("%d", &list[0]);

        max = sumMax = list[0] > 0 ? list[0] : 0;

        min = sumMin = list[0] < 0 ? list[0] : 0;

        total = list[0];

        for(int i = 1; i < n; i++)

        {

                        scanf("%d", &list[i]);

            if(sumMax > 0)

                sumMax += list[i];

            else

                sumMax = list[i];

            if(sumMin < 0)

                sumMin += list[i];

            else

                sumMin = list[i];

            max = sumMax > max ? sumMax : max;

            min = sumMin < min ? sumMin : min;

            total += list[i];

        }

        int tmp = total - min;

        printf("%d\n", max > tmp ? max : tmp);

    }

    return 0;

}

/**************************************************************

    Problem: 1527

    User: Qinger

    Language: C++

    Result: Accepted

    Time:70 ms

    Memory:1340 kb

****************************************************************/

 

　　　　　　　　　　　　　

在九度论坛上，鬼M给出的是O（nlogn）的算法。。因为对线段树不太了解。所以先放在这里，有时间再看（希望如此）：

题目1：首尾相连数组的最大子数组和

这个题目在之前的最大子段和的基础上扩展了一下，而且数据范围又比较大，不能通过枚举端点来实现题目要求的复杂度。

对于这种循环的问题比较常见的一种方法是把这个数组扩大一倍。

设原来的数组是a[],下标从1开始，为了方便设a[0]=0。

sum[0]=0;

sum [ i ]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a [ i ]   (for each 1<=i<=2*n)

然后我们求出以i为结尾的最大子段和。这个要从前面找一个j,使得sum [ i ] -sum[j]最大，而且i-j<=n,即要求最多只能有n个连续的数字

也就是从区间[i-j,i-1]里面找一个sum的最小值，这个可以用线段树来实现。

因此，这题可以用nlogn的复杂度解决了。当然此题还有其它的解法。有o(n)的，大家可以自行百度。

线段树：http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/

 

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<string.h>

#include<map>

#include<algorithm>

#include<queue>

using namespace std;

 

const int MAX=110000*2;

 

int sum[MAX];

struct Q

{

    int id,v;

}q[MAX];

int front;

int rear;

void push(int id,int v)

{

    rear++;

    q[rear].id=id;

    q[rear].v=v;

    while(rear-1>=front&&q[rear-1].v>q[rear].v)

    {

        rear--;

        q[rear]=q[rear+1];

    }

}

int query(int id)

{

    while(front<=rear&&q[front].id<id)

    {

        front++;

    }

    if(front>rear)return 0;

    return q[front].v;

}

int main()

{

    int n;

    int i;

    int CS=1;

    while(scanf("%d",&n)!=EOF)

    {

        sum[0]=0;

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            scanf("%d",&sum[i]);

            sum[i+n]=sum[i];

        }

        for(i=1;i<=2*n;i++)sum[i]+=sum[i-1];

        rear=-1;

        front=0;

        push(0,0);

        int ans=0;

        for(i=1;i<=2*n;i++)

        {

            int tmp=sum[i]-query(i-n+1);

            if(tmp>ans)ans=tmp;

            push(i,sum[i]);

             

        }

        printf("%d\n",ans);

    }

    return 0;

}

 

/**************************************************************

    Problem: 1527

    User: 鬼M

    Language: C++

    Result: Accepted

    Time:70 ms

    Memory:3600 kb

****************************************************************/