【OpenCV 完整例程】70. 一维连续函数的傅里叶变换

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2.1 傅里叶级数

傅里叶级数（Fourier series）在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数公式指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数的加权之和：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\psi }_n)\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\end{array}$$
这个和就是傅里叶级数。

2.2 傅里叶变换

任何非周期函数也可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数乘以加权函数的积分：
$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$
这个公式就是傅里叶变换（Fourier transform ）和逆变换。

*傅里叶变换存在的充分条件是：f(t) 的绝对值的积分是有限的，在信号处理、图像处理领域这一条件都能满足。

例程 8.3：一维连续函数的傅里叶变换（盒式函数）

以一维盒式函数为例，其傅里叶变换为：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-j\omega t}dt\\ & =\frac{sin(\omega )}{\omega }\end{array}$$

    # 8.3：一维连续函数的傅里叶变换（盒式函数）
    # 盒式函数 (Box_function)
    x = np.arange(-5, 5, 0.1)
    w = 2 * np.pi
    halfW = w / 2
    y = np.where(x, x > -halfW, 0)
    y = np.where(x < halfW, y, 0)

    plt.figure(figsize=(9, 4))
    plt.subplot(131), plt.title("Box_function")
    plt.plot(x, y, '-b')

    plt.subplot(132), plt.title("Fourier transform")
    fu = np.sinc(x)
    plt.plot(x, fu, '-b')

    plt.subplot(133), plt.title("Spectrum of box_func")
    fu = abs(fu)
    plt.plot(x, fu, '-b')

    plt.show()

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（本节完）

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