【OpenCV 完整例程】73. 二维连续傅里叶变换
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2.1 二维连续傅里叶变换
设 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z) 是二维连续变量 t , z t, z t,z 的连续函数，则其二维连续傅里叶变换和逆变换为：
F ( μ , ν ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( μ t + ν z ) d t d z f ( t , z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ F ( μ , ν ) e j 2 π ( μ t + ν z ) d μ d ν \begin{aligned} F(\mu,\nu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t,z) e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ f(t,z) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\mu,\nu) e^{j 2\pi (\mu t + \nu z)} d\mu \ d\nu \end{aligned} F(μ,ν)f(t,z)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(μt+νz)dt dz=∫−∞+∞∫−∞+∞F(μ,ν)ej2π(μt+νz)dμ dν
对于图像处理，式中的 t , z t, z t,z 表示连续空间变量， μ , ν \mu, \nu μ,ν 表示连续频率变量。
例程 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）
以盒式函数为例，其傅里叶变换为：
F ( μ , ν ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( μ t + ν z ) d t d z = ∫ − T / 2 + T / 2 ∫ − Z / 2 + Z / 2 A e − j 2 π ( μ t + ν z ) d t d z = A T Z [ s i n ( π μ T ) π μ T ] [ s i n ( π ν Z ) π ν Z ] \begin{aligned} F(\mu,\nu) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t,z) e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ &= \int_{-T/2}^{+T/2} \int_{-Z/2}^{+Z/2} A e^{-j 2\pi (\mu t + \nu z)} dt \ dz\\ &= ATZ[\frac{sin(\pi \mu T)}{\pi \mu T}][\frac{sin(\pi \nu Z)}{\pi \nu Z}] \end{aligned} F(μ,ν)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(μt+νz)dt dz=∫−T/2+T/2∫−Z/2+Z/2Ae−j2π(μt+νz)dt dz=ATZ[πμTsin(πμT)][πνZsin(πνZ)]
# 8.7：二维连续函数的傅里叶变换（二维盒式函数）
# 二维盒式函数 (2D-Box_function)
t = np.arange(-5, 5, 0.1) # start, end, step
z = np.arange(-5, 5, 0.1)
height, width = len(t), len(z)
tt, zz = np.meshgrid(t, z) # 将一维数组 xnew, ynew 转换为网格点集（二维数组）
f = np.zeros([len(t), len(z)]) # 初始化，置零
f[30:70, 30:70] = 1 # 二维盒式函数
fu = np.sinc(t)
fv = np.sinc(z)
fuv = np.outer(np.sinc(t), np.sinc(z)) # 由公式计算连续傅里叶变换
print(fu.shape, fv.shape, fuv.shape)
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax1 = plt.subplot(121, projection='3d')
ax1.set_title("2D-Box function")
ax1.plot_wireframe(tt, zz, f, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')
ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([]), ax1.set_zticks([])
ax2 = plt.subplot(122, projection='3d')
ax2.set_title("2D-Fourier transform")
ax2.plot_wireframe(tt, zz, fuv, rstride=2, cstride=2, linewidth=0.5, color='c')
ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([]), ax2.set_zticks([])
plt.show()
例程 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）
# 8.8：二维连续函数的傅里叶变换（不同参数的盒式函数）
# 二维盒式函数 (2D-Box_function)
height, width = 128, 128
m = int((height - 1) / 2)
n = int((width - 1) / 2)
fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
T = [5, 10, 20]
print(len(T))
for i in range(len(T)):
f = np.zeros([height, width]) # 初始化，置零
f[m-T[i]:m+T[i], n-T[i]:n+T[i]] = 1 # 不同尺寸的盒式函数
fft = np.fft.fft2(f)
shift_fft = np.fft.fftshift(fft)
amp = np.log(1 + np.abs(shift_fft))
plt.subplot(2,len(T),i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.imshow(f, "gray"), plt.title("Box Filter (T={})".format(T[i]))
#
plt.subplot(2,len(T),len(T)+i+1), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.imshow(amp, "gray"), plt.title("FFT Spectrum")
plt.tight_layout()
plt.show()
（本节完）
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Crated：2022-1-15
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