树与二叉树
树
有许多逻辑关系并不是简单的线性关系，在实际场景中，常常存在着一对多，甚至是多对多的情况。其中树和图就是典型的非线性数据结构，我们首先讲一讲树的知识。
什么是树呢？在现实生活中有很多体现树的逻辑的例子。例如你家的“家谱”，就是一个“树”。再如企业里的职级关系，也是一个“树”。
除人与人之间的关系之外，许多抽象的东西也可以成为一个“树”，如一本书的目录。
以上这些例子有什么共同点呢？为什么可以称它们为“树”呢？因为它们都像自然界中的树一样，从同一个“根”衍生出许多“枝干”，再从每一个“枝干”衍生出许多更小的“枝干”，最后衍生出更多的“叶子”。
树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 每个节点有零个或多个子节点；
- 没有父节点的节点称为根节点；
- 每一个非根节点有且只有一个父节点；
- 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
下面这张图，就是一个标准的树结构。
在上图中，节点1是根节点（root）；节点5、6、7、8是树的末端，没有“孩子”，被称为叶子节点（leaf）。图中的虚线部分，是根节点1的其中一个子树。
同时，树的结构从根节点到叶子节点，分为不同的层级。从一个节点的角度来看，它的上下级和同级节点关系如下。
在上图中，节点4的上一级节点，是节点4的父节点（parent）；从节点4衍生出来的节点，是节点4的孩子节点（child）；和节点4同级，由同一个父节点衍生出来的节点，是节点4的兄弟节点（sibling）。
树的最大层级数，被称为树的高度或深度。显然，上图这个树的高度是4。
树的术语
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
- 叶节点或终端节点：度为零的节点；
- 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
- 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的种类
- | 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
- | 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
- || 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
- ||| 完全二又树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二又树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
- ||| 平衡二又树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
- ||| 排序二又树（二又查找树（英语：Binary Search Tree），也称二又搜索树、有序二叉树）；
- || 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二又树称为哈夫曼树或最优二叉树；
- || B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二又查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。
- || 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
树的存储与表示
顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二又树通常以链式存储。
链式存储：
由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2
常见的一些树的应用场景
- xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
- 路由协议就是使用了树的算法
- mysql数据库索引
- 文件系统的目录结构
- 所以很多经典的Al算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构
二叉树
二叉树（binary tree）是树的一种特殊形式。二叉，顾名思义，这种树的每个节点最多有2个孩子节点。注意，这里是最多有2个，也可能只有1个，或者没有孩子节点。
二叉树的结构如图所示。
二叉树节点的两个孩子节点，一个被称为左孩子（left child），一个被称为右孩子（right child）。这两个孩子节点的顺序是固定的，就像人的左手就是左手，右手就是右手，不能够颠倒或混淆。
此外，二叉树还有两种特殊形式，一个叫作满二叉树，另一个叫作完全二叉树。
一个二叉树的所有非叶子节点都存在左右孩子，并且所有叶子节点都在同一层级上，那么这个树就是满二叉树。
简单点说，满二叉树的每一个分支都是满的。
什么又是完全二叉树呢？完全二叉树的定义很有意思。
对一个有n个节点的二叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同，则这个二叉树为完全二叉树。
在上图中，二叉树编号从1到12的12个节点，和前面满二叉树编号从1到12的节点位置完全对应。因此这个树是完全二叉树。
完全二叉树的条件没有满二叉树那么苛刻：满二叉树要求所有分支都是满的；而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可。
二叉树可以用哪些物理存储结构来表达呢？
- 链式存储结构
链式存储是二叉树最直观的存储方式。
上一次讲过链表，链表是一对一的存储方式，每一个链表节点拥有data变量和一个指向下一节点的next指针。
而二叉树稍微复杂一些，一个节点最多可以指向左右两个孩子节点，所以二叉树的每一个节点包含3部分。
- 存储数据的data变量
- 指向左孩子的left指针
- 指向右孩子的right指针
- 数组
使用数组存储时，会按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的左孩子或右孩子空缺，则数组的相应位置也空出来。
为什么这样设计呢？因为这样可以更方便地在数组中定位二叉树的孩子节点和父节点。
假设一个父节点的下标是parent，那么它的左孩子节点下标就是2×parent +1；右孩子节点下标就是2×parent + 2。
反过来，假设一个左孩子节点的下标是leftChild，那么它的父节点下标就是（leftChild-1）/ 2。
假如节点4在数组中的下标是3，节点4是节点2的左孩子，节点2的下标可以直接通过计算得出。
显然，对于一个稀疏的二叉树来说，用数组表示法是非常浪费空间的。
什么样的二叉树最适合用数组表示呢？我们后面即将学到的二叉堆，一种特殊的完全二叉树，就是用数组来存储的。
用队列实现二叉树
class Node(object):
def __init__(self,item):
self.elem = item
self.left_child = None
self.right_child = None
class Tree(object):
def __init__(self):
self.root = None
def add(self,item):
node = Node(item)
if self.root is None:
self.root = node
return
queue = [self.root]
while queue :
cur_node =queue.pop(0)
if cur_node.left_child is None:
cur_node.left_child = node
return
else:
queue.append(cur_node.left_child)
if cur_node.right_child is None:
cur_node.right_child = node
return
else:
queue.append(cur_node.right_child)
二叉树的遍历
在计算机程序中，遍历本身是一个线性操作。所以遍历同样具有线性结构的数组或链表，是一件轻而易举的事情。
反观二叉树，是典型的非线性数据结构，遍历时需要把非线性关联的节点转化成一个线性的序列，以不同的方式来遍历，遍历出的序列顺序也不同。
那么，二叉树都有哪些遍历方式呢？
从节点之间位置关系的角度来看，二叉树的遍历分为4种。
-
前序遍历
-
中序遍历
-
后序遍历
-
层序遍历
从更宏观的角度来看，二叉树的遍历归结为两大类。
- 深度优先遍历（前序遍历、中序遍历、后序遍历）。
- 广度优先遍历（层序遍历）。
广度优先遍历
层序遍历，顾名思义，就是二叉树按照从根节点到叶子节点的层次关系，一层一层横向遍历各个节点。
上图就是一个二叉树的层序遍历，每个节点左侧的序号代表该节点的输出顺序。
可是，二叉树同一层次的节点之间是没有直接关联的，如何实现这种层序遍历呢？这里同样需要借助一个数据结构来辅助工作，这个数据结构就是队列。
详细遍历步骤如下。
- 根节点1进入队列。
- 节点1出队，输出节点1，并得到节点1的左孩子节点2、右孩子节点3。让节点2和节点3入队。
- 节点2出队，输出节点2，并得到节点2的左孩子节点4、右孩子节点5。让节点4和节点5入队。
- 节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。
- 节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。
- 节点5出队，输出节点5，由于节点5同样没有孩子节点，所以没有新节点入队。
- 节点6出队，输出节点6，节点6没有孩子节点，没有新节点入队。
到此为止，所有的节点都遍历输出完毕。
def breadth_travel(self):
"""利用队列实现二叉树的层次遍历"""
if self.root is None:
return
queue = [self.root]
while queue:
cur_node = queue.pop(0)
print(cur_node.elem)
if cur_node.left_child is not None:
queue.append(cur_node.left_child)
if cur_node.right_child is not None:
queue.append(cur_node.right_child)
深度优先遍历
- 二叉树的前序遍历，输出顺序是根节点、左子树、右子树
- 二叉树的中序遍历，输出顺序是左子树、根节点、右子树
- 二叉树的后序遍历，输出顺序是左子树、右子树、根节点
def preorder(self,node):
"""先序遍历"""
if node is None:
return
print(node.elem,end=' ')
self.preorder(node.left_child)
self.preorder(node.right_child)
def inorder(self,node):
"""中序遍历"""
if node is None:
return
self.inorder(node.left_child)
print(node.elem, end=' ')
self.inorder(node.right_child)
def postorder(self,node):
"""后序遍历"""
if node is None:
return
self.postorder(node.left_child)
self.postorder(node.right_child)
print(node.elem, end=' ')
由遍历结果反推一棵树
-
确定根,确定左子树，确定右子树（根据前序或后序联合中序推导得出）
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在左子树中递归
-
在右子树中递归
-
打印当前根