高等代数理论基础3：一元多项式

一元多项式

定义：形式表达式称为系数在数域P上的一元多项式

其中

项与系数

多项式中

定义：称为i次项，称为i次项系数

若,则称为多项式的首项,为首项系数,n为多项式的次数,记作

零多项式

定义：,则称f(x)为零多项式,记作0.

注：零多项式是唯一不定义次数的多项式

区别：

多项式相等

定义：若多项式f(x)与g(x)同次项系数全相等,则称f(x)与g(x)相等,记作f(x)=g(x)

即,

多项式运算

设数域P上两个多项式

若,令,则

其中s次项的系数为

性质

1.仍为数域P上的多项式

2.

3.若,则,且

4.若,则f(x)g(x)的首项为,次数为n+m,(f(x)g(x)的首项系数=f(x)的首项系数*g(x)的首项系数)

运算规律

1.加法交换律

2.加法结合律

3.乘法交换律

4.乘法结合律

5.乘法对加法的分配律

6.乘法消去律

证明：乘法结合律

证：

证明：乘法消去律

证：

一元多项式环

定义：所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记作P[x],P称为P[x]的系数域