算法刷题【洛谷P1593】因子和（附等比数列求和公式推导）

异想之旅：本人原创博客完全手敲，绝对非搬运，全网不可能有重复；本人无团队，仅为技术爱好者进行分享，所有内容不牵扯广告。本人所有文章仅在CSDN和个人博客（一定是异想之旅域名）发布，除此之外全部是盗文！

---

洛谷 P1593 因子和

题目描述

输入两个整数 $a$ 和 $b$，求 $a^b$ 的因子和。

由于结果太大，只要输出它对 $9901$ 取模的结果。

输入格式

仅一行，为两个整数 $a$ 和 $b$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案对 $9901$ 取模的结果。

输入输出样例

In 1：

2 3

Out 1：

15

数据范围

对于全部的测试点，保证 $1\le a\le 5\times 10^7$，$0\le b\le 5\times 10^7$。

题解

本文视频讲解：

【洛谷P1593】因子和视频讲解

为了完成洛谷P1593这道题也是拼了……用到了三个不会的知识：因子和公式和等比数列求和公式和费马小定理求分数

这里另摆一份很好的题解：洛谷 [P1593 因子和] {快速幂+费马小定理求逆元+求解质因子} 奋斗的珂珂~ - 代码先锋网

---

先摆出因子和公式的参考资料：

• 数论-约数和公式_Ice_teapoy的博客-CSDN博客_约数和公式
• 约数和公式 及其 证明 。。小学奥数啊 摔~_用心一也-CSDN博客_约数个数公式

---

等比数列定义很简单，设有数列 $[a_1,a_2,...,a_n]$ ，存在一个定值 $q$ 使得任意 $1\le i\le n-1$ 都有 $a_{i+1}=a_i\times q$ 。由此定义可知 $a_n=a_1\times q^{n-1}$ 。

这个数列的求和公式为 $S_n=a_1+a_2+...+a_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$ ，下面我们来证明这个公式：

$\because q{S}_n=q{a}_1+q{a}_2+...+q{a}_n=a_2+a_3+...+a_{n+1}$

$\therefore q{S}_n-S_n=(q-1)S_n=a_{n+1}-a_1=(a_1\ast q^n)-a_1=a_1(q^n-1)$

$\therefore S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$

（参考资料：等比数列公式及推导_高三网）

---

费马小定理求分数快速幂的公式及证明：

（来源：分数取模(费马小定理)_give it a try-CSDN博客_分数取模运算）

---

根据整数的唯一分解定理，整数a进行质因数分解对应的式子唯一，有：

$a=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast p_3^{k_3}\ast \dots \ast p_n^{k_n}$

又因为本题要分解的是$a^b$，所以上面的式子又可以写成这样：

$a^b=p_1^{k_1\ast b}\ast p_2^{k_2\ast b}\ast p_3^{k_3\ast b}\ast \dots \ast p_n^{k_n\ast b}$

证明很简单，就是把上面第一个式子乘上 $b$ 次即可得第二个式子

接下来我们要求的是因子和，所以就有：

$ans=(1+p_1^1+p_1^2+p_1^3+\dots +p_1^{k_1\ast b})\ast (1+p_2^1+p_2^2+p_2^3+\dots +p_1^{k_2\ast b})\ast ...\ast (1+p_n^1+p_n^2+p_n^3+\dots +p_n^{k_n\ast b})$

于是求和转化成了等比数列的和的乘积

而对于每一个等比数列，可根据公式求和：$sum=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$ （上面推得的等比数列求和公式中代入 $a_1=1$ ，自然有了 $n=n+1$ ）

注意这里的 $p$ 与上面截图中的 $p$ 含义不一样！这里指的是公比（类比等差数列的公差），上面指的是 mod （快速幂中取余的那个数）

有了这些知识来看代码：

#include 
using namespace std;
const int mod = 9901;
int ys[50000000];

// 一个不那么简单的快速幂模板
long long ksm(long long x, long long y) {
    if (y == 0) return 1;
    if (y % 2 == 0) return ((long long)pow(ksm(x, y / 2) % mod, 2) % mod);
    return (x * (long long)pow(ksm(x, y / 2) % mod, 2) % mod);
}

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int aa = a;  // 由于aa的值会被修改，所以需要一个变量保存

    ys[2] = 0;
    while (a % 2 == 0) {
        a /= 2;
        ys[2]++;
    }
    ys[2] *= b;  // 因为是b次幂因此要乘以b
    for (int i = 3; i <= a / i; i += 2) {
        ys[i] = 0;
        while (a % i == 0) {
            a /= i;
            ys[i]++;
        }
        ys[i] *= b;
    }
    if(a != 1) {
        // 分解质因数，若有质因数超过根号a，则只能是a本身
        ys[a] = b;
    }

    long long ans = 1;
    for (int i = 2; i <= aa; i++) {
        if (!ys[i]) continue;  // 不存在该质因数
        int temp;
        if (i % mod == 1) {
            temp = (ys[i] + 1) % mod;  // 详见博文最后的解释
        } else
            temp = ((ksm(i, ys[i] + 1) - 1 + mod) % mod) * ksm(i - 1, mod - 2) % mod;  // 使用费马小定理求解
        if (temp != 0) ans = ans * temp % mod;
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

关于代码第42行特判 i % mod == 1 （也就是判断 i-1 是否为 mod 的倍数；同样适用于45行 temp != 0 特判）：

当 i-1 为 mod 的倍数时，等比数列中每一项取余 $9901$ 的结果都为 $1$ ，等比数列的和便是 $k_i\times b（上方证明公式中的表示）=ys[i]（代码中的表示）$ ，因此此处特判改为 temp = ys[i] + 1 ；同理，若 i 为 mod 的倍数，则 temp 值为 $0$ 恒成立（洛谷测试点中不存在此极端情况因此不考虑也能AC）