Shader基础笔记（2）- 数学基础

我擦，居然不识别公式。好吧想看的同学自己复制到别的 Markdown 编辑器上吧。没错我就是这么不负责任。

左手坐标系

举起右手，用食指和大拇指摆出一个“L”的手势，并且让食指向上，大拇指向右。现在，伸出中指，如果不出意外的话它应该指向你的前方。你的大拇指、食指和中指分别对应了+x、+y和+z轴的方向。

当需要旋转时，在左手坐标系中，我们可以这样判断方向：举起左手，握拳，伸出大拇指让它指向旋转轴的正方向，那么旋转的正方向就是剩下4个手指的弯曲方向。

矢量的点积（内积）

1. 在 Unity Shader 中，我们可以直接使用 dot(a,b) 的代码来对两个矢量值进行点积的运算。
2. 公式：$ a \times b = (a_x, a_y, a_z) \cdot (b_x, b_y, b_z) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z $
3. 我们可以使用点积 a·b 来得到 b 在 a 方向上的有符号的投影。
4. 我们可以直接利用点积来求矢量的模：$ v \cdot v = v_xv_x + v_yv_y + v_zv_z = |v|^2 $
5. 第二个计算公式：$ a \cdot b = |a||b| \cos\theta $

矢量的差积（外积）

1. 矢量差积的结果仍然是一个矢量。
2. 公式: $ a \times b = (a_x, a_y, a_z) \times (b_x, b_y, b_z) = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x ) $
3. 几何意义：差积将得到一个同时垂直于这两个矢量的新矢量。
4. 不满足交换律
5. 另一个公式：$|a \times b| = |a||b|sin \theta $

基本的变换矩阵

1. 一些基本概念

1. 线性变换包括：缩放(scale)，旋转(rotation)，错切(shear)，镜像(mirroring)，正交投影等。
2. 仿射变换(affine transform)：合并线性变换和平移变换的变换类型。
3. 齐次坐标(homogeneous coordinate)：由三维矢量转换而成的四维矢量（事实上齐次坐标的维度可以超过四维）。齐次坐标只是为了方便计算而使用的一种表示方法而已。
4. 我们把表示纯平移、纯旋转和纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵。

2. 基础变换矩阵

基础变换矩阵：
$$ \left[ \begin{matrix} M_{x \times x} & t_{3 \times 1}\ 0_{1 \times 3} & 1 \end{matrix} \right] $$

其中，左上角的 $M_{x \times x}$ 用于表示旋转和缩放，$t_{3 \times 1}$ 表示平移。

3. 平移矩阵

$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x + t_x \ y + t_y \ z + t_z \ 1 \end{matrix} \right] $$

3. 缩放矩阵

$$ \left[ \begin{matrix} k_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & k_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & k_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \ y \ z \ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_xx \ k_yy \ k_zz \ 1 \end{matrix} \right] $$

4. 旋转矩阵

1. 如果我们需要把点绕着x轴旋转 \theta 度，可以使用下面的矩阵：
   $$ R_x(\theta)=
   \left[ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0 & 0 \
   0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \
   0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \
   0 & 0 & 0 & 1
   \end{matrix} \right]
   $$
2. 绕y轴旋转：
   $$ R_y(\theta)=
   \left[ \begin{matrix}
   \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \
   0 & 1 & 0 & 0 \
   -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \
   0 & 0 & 0 & 1
   \end{matrix} \right]
   $$
3. 绕z轴旋转：
   $$ R_z(\theta)=
   \left[ \begin{matrix}
   \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \
   \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \
   0 & 0 & 1 & 0 \
   0 & 0 & 0 & 1
   \end{matrix} \right]
   $$

5. 复合变化

我们可以把平移、旋转和缩放组合起来，来形成一个复杂的变换过程。复合变换可以通过矩阵的串联来实现：

$$ P_{new} = M_{translation}M_{rotation}M_{scale}P_{old} $$

由于上面我们使用的是列矩阵，因此阅读顺序是从右到左（$M_{scale}$先和$P_{old}$运算），即先进行缩放变换，再进行旋转变换，最后进行平移变换。由于计算结果是依赖于变换顺序的，由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵的乘法顺序很重要。我们约定变换顺序就是：先缩放，再旋转，最后平移。

当需要组合旋转时，Unity 中，旋转的顺序是z、x、y，这意味着，当给定 $(\theta_x, \theta_y, \theta_z)$ 这样的旋转角度时，得到的组合旋转变换矩阵是：

$$ M_{rotat\theta_z}M_{rotat\theta_x}M_{rotat\theta_y} =
\left[ \begin{matrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
$$

目前所需要的内容不涉及到坐标转换等问题，其他基础数学知识先不管。