第一次写文章，如果有说的不对的地方欢迎大佬们指正
基础的二分法
前提：有序数组
形式：二分法一般有两种写法，分别对应不同的区间定义。
区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。
一种是左闭右闭，即[left, right]，另一种是左闭右开，即[left, right)
第一种写法：[left, right],即target是在这个闭区间内。
首先，while的循环条件必须是left <= right,因为只有left = right的时候，区间的右端点(i.e. right)才能被考虑到。因为在left < right的时候，(left + right) >> 1 < right,即mid < right,所以这时永远不可能考虑到right这个右端点。只有当left = right的时候, mid = right,我们才考虑到了右端点，所以这个等于的情况是有意义的，必须取等号。
其次，循环内判断的时候if(nums[mid] > target),也就是说明target值在[left, mid)区间内，由于我们考虑的是[left, right]这个闭区间，所以此时right应该置为mid - 1。
这种写法最后终止时right = left - 1;
第二种写法：[left, right)
首先，while循环条件是left < right,因为left = right的情况对我们没有意义，我们不考虑right这个右端点。
其次，right一开始必须初始化为数组长度n而不是n - 1。
最后，if(nums[mid] > target)，right应该更新为 mid，因为寻找区间是左闭右开区间，而nums[mid]不等于target,所以right更新为mid。
这种写法最后终止时left = right。
二分法的变式
要对二分法进行变式，关键是注意循环时不同if情况下指针的移动和循环最终终止时left和right的关系。
以leetcode题目34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置为例：
这个题目中target有重复的值，所以主要修改两个基础写法最终定位到的target的位置。
这里参考了leetcode用户jys_std的评论代码。我们可以将查找第一个位置理解为查找大于等于target的第一个位置，而查找最后一个位置就是查找大于等于target + 1的第一个位置，这样就实现了统一。
我们知道基础的二分法是查找一个单独元素的位置，那么如何修改才能让它实现查找大于等于给定元素的第一个位置呢？
这里以第二种写法为例（左闭右开）。
这是基础二分法的样例java代码：
public int search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length;
while(left < right){
int mid = (left + right) >> 1;
if(nums[mid] < target) left = mid + 1;
if(nums[mid] > target) right = mid;
if(nums[mid] == target) return mid;
}
return -1;
}再给出此题的变式代码：
//找>=target的第一个
public int search(int[] nums,int target){
int l = 0, r = nums.length;
while(l < r){
int mid = (r + l) >> 1;
if(nums[mid] >= target)
r = mid;
else
l = mid + 1;
}
return l;
}上面提到了二分法的变式关键是注意循环时不同if情况下指针的移动和循环最终终止时left和right的关系
首先，在nums[mid] = target的时候，我们不能return，因为会有多个target，那么此时我们要找的是最左边的target，而我们不知道这个是不是最左边，但是可以确认的是右区间(mid, right]不用考虑了，而只要考虑[left, mid)这个区间。所以此时我们将right置为mid.
然后考虑nums[mid] > target的情况，此时和第一种情况一样，也是把right置为mid。
接着我们看nums[mid] < target的情况，此时target肯定在(mid, right)中，所以我们将left置为mid + 1;
最后我们关注循环终止时的情况，也就是left = right。此时指针会停在最左边的target的位置，因为基于上面的条件判断，nums[mid]等于target的时候，我们是将right左移，考虑左区间。最后因为left = right,我们返回任意一个就行。
当然此题还要考虑target值超出nums数组界限的情况：
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int l = search(nums,target);
int r = search(nums,target + 1);
if(l == nums.length || nums[l] != target)
return new int[]{-1, -1};
return new int[]{l, r - 1};
}l == nums.length对应target大于nums最大值的情况，nums[l] != target对应target小雨nums最小值的情况。
如果想练练手还可以去做做69. x 的平方根 。
参考：