POJ-1679 The Unique MST 次小生成树

　　题目链接：http://poj.org/problem?id=1679

　　求是否存在多个最小生成树，其实就是求次小生成树的权值是否等于最小生成树。

　　最小生成树的两个性质：

　　　 1.切割性质：假定所有边权值不相等，设S为即非空集合也非全集V的子集，边e是满足一个端点在S内，另一个端点不在S内的所有边中权值最小的一个，则图G的所有生成树均包含e。

　　　 2.回路性质：假定所有边权值不相等，设C是图G中的任意回路，边e是C上权值最大的边，则图G的所有生成树均不包含e。

　　求次小生成树一遍朴素的做法就是枚举最小生成树中的边删去，然后再在图上求最小生成树，复杂度O(n*m*lgm);对于稀疏图来说，复杂度还是不高的。还有一种更好的方法，就是利用性质2。在最小生成树上家一条边u-v之后，图上会出现一条回路，因此删除的必须在最小生成树上u-v的路径上，而且是这条路径上的最长边。可以证明，次小生成树一定可以由最小生成树加一条边再删一条边得到（边交换）。因此只需求出”每对节点之间的最小瓶颈路“之后，然后依次枚举m条边就可以了。总复杂度O(n^2);

 1 //STATUS:C++_AC_0MS_368KB

 2 #include<stdio.h>

 3 #include<stdlib.h>

 4 #include<string.h>

 5 #include<math.h>

 6 #include<iostream>

 7 #include<string>

 8 #include<algorithm>

 9 #include<vector>

10 #include<queue>

11 #include<stack>

12 using namespace std;

13 #define LL __int64

14 #define pdi pair<double,int>

15 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

16 #define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

17 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

18 #define lson l,mid,rt<<1

19 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

20 const int N=110,M=1000000,INF=0x3f3f3f3f,MOD=1999997;

21 const LL LLNF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

22 const double DNF=100000000;

23 

24 struct Edge{

25     int u,v,w;

26 }e[N*N];

27 int p[N],vis[N],mst[N][N],d[N][N],w[N][N];

28 int T,n,m,mt;

29 

30 int cmp(const Edge& a,const Edge& b)

31 {

32     return a.w<b.w;

33 }

34 

35 int find(int x){return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}

36 

37 int dfs(int& s,int u,int max)

38 {

39     int v;

40     for(v=1;v<=n;v++){

41         if(mst[u][v] && !vis[v]){

42             vis[v]=1;

43             d[s][v]=Max(max,w[u][v]);

44             dfs(s,v,d[s][v]);

45         }

46     }

47     return 0;

48 }

49 

50 int Kruskal()

51 {

52     int i,j,x,y,sum=0;

53     for(i=1;i<=n;i++)p[i]=i;

54     sort(e,e+m,cmp);

55     mem(mst,0);

56     for(i=0;i<m;i++){

57         x=find(e[i].u);

58         y=find(e[i].v);

59         if(x!=y){

60             sum+=e[i].w;

61             p[y]=x;

62             mst[e[i].u][e[i].v]=mst[e[i].v][e[i].u]=1;

63         }

64     }

65     return sum;

66 }

67 

68 int main()

69 {

70   //  freopen("in.txt","r",stdin);

71     int i,j,a,b,c,ok,ans;

72     scanf("%d",&T);

73     while(T--)

74     {

75         mt=0;

76         mem(w,-1);

77         scanf("%d%d",&n,&m);

78         for(i=0;i<m;i++){

79             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

80             w[a][b]=w[b][a]=c;

81             e[i].u=a,e[i].v=b,e[i].w=c;

82         }

83 

84         ans=Kruskal();

85         for(i=1;i<=n;i++){

86             mem(vis,0);vis[i]=1;

87             dfs(i,i,0);

88         }

89         for(i=0,ok=1;i<m;i++)

90             if(d[e[i].u][e[i].v]==e[i].w &&

91                !mst[e[i].u][e[i].v]){ok=0;break;}

92 

93         if(ok)printf("%d\n",ans);

94         else printf("Not Unique!\n");

95     }

96     return 0;

97 }