0. 学习目标
在诸如单链表、双线链表等普通链表中,查找、插入和删除操作由于必须从头结点遍历链表才能找到相关链表,因此时间复杂度均为O(n)。跳表是带有附加指针的链表,使用这些附加指针可以跳过一些中间结点,用以快速完成查找、插入和删除等操作。本节将介绍跳表的相关概念及其具体实现。
通过本节学习,应掌握以下内容:
- 跳表的基本概念及其与普通链表的区别
- 跳表及其操作的实现
1. 跳表的基本概念
跳表 (Skip List) 是一种可以快速进行查找、插入和删除等操作的有序链表(链表中的数据项按照某种顺序进行排列的链表称为有序链表)。跳表的核心思想是以更大的跨度遍历链表,以便可以跳过中间结点。
1.1 跳表介绍
首先,让我们回想一下如何在以下单链表中查找数据元素,即使链表中的数据已经排好序,我们也需要从头结点开始遍历链表。
例如要在以上单链表中查找 15,查找过程为: 0-->3-->5 -->7-->10-->15。
为了提高查找的效率,我们可以抽取链表中的一部分结点建立一个起“索引”作用的链,称为“索引层”或简称“索引”:
此时我们查找 15,首先在索引层中遍历,当我们扫描到值为 10 的结点时,由于下一结点值为 27,因此我们知道 15 应当在这两个结点之间,然后回到原链表中遍历即可找到值为 15 的结点,遍历过程如下图绿色箭头所示:
可以看到通过建立索引链,需要遍历的结点数得以减少,为了进一步减少所需遍历的结点数,可以通过对索引链添加索引,跳表是对链表叠加多级索引的数据结构。
1.2 跳表的性能
1.3 跳表与普通链表的异同
我们可以将跳表理解为排序后的链表,但与普通链表相比,有以下不同点:
- 普通链表中的结点只有一个 next 指针,跳表中的结点有多个 next 指针;
- 给定结点的 next 指针的数量是随机确定的。
跳表中结点的每个 next 指针称为一层,结点中的层数称为结点的大小,其决定了结点在链表中的层级;在普通的有序链表中,插入、删除和查找操作需要对链表依次遍历,因此每个操作的时间复杂度均为O(n),跳表允许在遍历时跳过一些中间节点,每个操作的时间复杂度为O(㏒n)。
2. 跳表的实现
跳表中的每个数据元素由一个结点表示,结点的层级在结点插入时随机选择,而不考虑数据结构中数据元素的数量。第i级结点有i个next 指针(在结点实现时使用大小为i的数组 next 存储i个 next 指针),因此我们不需要在结点中存储结点的层级,使用最大层数 max_level 来限制层级上限。跳表的头结点具有从 1 级到 max_level 级的 next 指针。
2.1 跳表结点类
跳表的结点示意图如下所示,每个结点都有一组用于指向其它层级结点的指针域列表 next:
class Node: def __init__(self, data, level=0): self.data = data self.next = [None] * level def __str__(self): return "Node({}, {})".format(self.data, len(self.next))
next 数组用于保存指向不同层级结点的指针,其中每个元素就是一个 next 指针,而 data 变量用于存储数据,重载 __str__ 方法用于便于打印结点对象,len(self.next) 可以用于表示结点中的层数。
2.2 跳表的初始化
跳表的初始化是建立一个空的带头结点的跳表,其表长 length 初始化为 0,此时链表中没有元素结点,只有一个头结点:
class SkipList: def __init__(self, max_level=8): self.max_level = max_level node = Node(Node, max_level) self.head = node self.length = 0
创建跳表 SkipList 对象的时间复杂度为O(1)。
2.3 获取跳表长度
求取跳表长度只需要重载 __len__ 从对象返回 length 的值,因此时间复杂度为O(1):
def __len__(self): return self.length
2.4 读取指定位置元素
由于跳表中的每个结点的层级是在结点插入时随机选择的,因此读取指定位置的数据元素和单链表类似,需要顺序遍历第0层结点,操作的复杂度为O(n),如果索引不在可接受的索引范围内,将引发 IndexError 异常::
def __getitem__(self, index): if index > self.length - 1 or index < 0: raise IndexError("UnrolledLinkedList assignment index out of range") else: count = 0 node = self.head.next[0] while count < index: node = node.next[0] count += 1 return node.data
2.5 查找指定元素
跳表的查找操作从最上层开始,如果待查元素 value 小于当前层的后继结点的 data,则平移至当前层的后继结点;否则下移进入下一层,继续比较,直至第一层。
def locate(self, value): node = self.head # 由于索引从0开始,因此第i层级的索引为i-1 level = self.max_level - 1 while level >= 0: while node.next[level] != None and node.next[level].data < value: # 平移到当前层的后继结点 node = node.next[level] # 下移进入下一层 level -= 1 if node.next[0].data == value: return node.next[0] else: raise ValueError("{} is not in skip list".format(value))
2.6 在跳表中插入新元素
与普通链表不同,在跳表中插入新元素不能指定位置(需要保证有序性),需要通过查找确定新数据元素的插入位置。
插入元素前,首先需要确定该元素所占据的层数 level k,这是通过算法随机生成的,这样可以减少算法实现的复杂度,同时也可以保证跳表性能。
def random_level(self, max_level): num = random.randint(1, 2**max_level -1) lognum = math.log(num, 2) level = int(math.floor(lognum)) return max_level - level
然后需要在 level 1, level 2, ..., level k 各层的链表都插入新元素,为了达到此目的,我们需要在查找插入位置时维护一个列表 update,update 中的每个元素 update[i] 指向 level i 中小于插入元素 data 的最右边结点,即插入位置的左侧,如下图所示,插入元素 data = 9,随机层数 k=3:
def update_list(self, data): update = [None] * self.max_level node = self.head level = self.max_level - 1 while level >= 0: while node.next[level] != None and node.next[level].data < data: node = node.next[level] update[level] = node level -= 1 return update
可以看到维护 update 列表的过程与查找元素类似,根据 update 列表可以判断跳表中是否已存在元素 data,如果不存在将其插入跳表中:
def insert_node(self, data): # 产生随机 level,并构造结点 level = self.random_level(self.max_level) node = Node(data, level) # 获取 update 列表 update = self.update_list(data) # 插入结点 if len(update) == 0 or update[0].next[0] == None or update[0].next[0].data != data: self.length += 1 for i in range(level): node.next[i] = update[i].next[i] update[i].next[i] = node
2.7 删除跳表中指定元素
删除指定元素与插入操作类似:
def delete_node(self, data): # 获取 update 列表 update = self.update_list(data) if len(update) > 0: node = update[0].next[0] # 删除指定元素结点 if node != None and node.data == data: self.length -= 1 for i in range(len(node.next)): update[i].next[i] = node.next[i] del node
2.8 其它一些有用的操作
1.跳表指定层元素输出
将跳表指定层转换为字符串以便进行打印,编写 print_level 方法打印指定层中数据元素:
def get_level(self, level): """辅助函数,用于根据给定层构造结果字符串""" node = self.head.next[level] result = '' while node: result = result + str(node.data) + '-->' node = node.next[level] result += 'None' return result def print_level(self, level): print('level {}'.format(level)) result = self.get_level(level) print(result)
2.跳表各层元素输出
可以借助上述辅助函数 get_level,使用 str 函数调用对象上的 __str__ 方法可以创建适合打印的字符串表示:
def __str__(self): result = '' for i in list(range(self.max_level))[self.max_level-1:0:-1]: result = result + self.get_level(i) + '\n' result += self.get_level(0) return result
3. 跳表应用
接下来,我们将测试上述实现的链表,以验证操作的有效性。
3.1 跳表应用示例
首先初始化一个跳表 sl,并在其中插入若干元素:
sl = SkipList(4) for i in range(0, 30, 3): sl.insert_node(i)
我们可以直接打印跳表中的数据元素、链表长度等信息:
print('跳表 sl 各层元素为:') print(sl) print('跳表 sl 长度为:', len(sl)) print('跳表 sl 第 2 个元素为:', sl[2])
以上代码输出如下:
跳表 sl 各层元素为: 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None 跳表 sl 长度为: 10 跳表 sl 第 2 个元素为: 6
接下来,我们将演示在添加/删除元素、以及如何查找指定元素等:
# 插入元素 sl.insert_node(14) print('在跳表 sl 中插入数据 14 后:') print(sl) # 删除元素 sl.delete_node(14) print('删除跳表 sl 中数据 14 后:') print(sl) # 查找数据元素 15 print('查找跳表 sl 中数据元素 15:', sl.locate(15))
以上代码输出如下:
在跳表 sl 中插入数据 14 后: 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->14-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->14-->15-->18-->21-->24-->27-->None 删除跳表 sl 中数据 14 后: 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None 查找跳表 sl 中数据元素 15: Node(15, 1)
以上就是Python数据结构与算法之跳表详解的详细内容,更多关于Python跳表的资料请关注脚本之家其它相关文章!