如何解题——用数学思维应对题海

Bill四年级的时候全家从摩洛哥回到国内，开始面对系统性地学习数学、英语和语文的问题。出于对数学的热情，我则自告奋勇地承担起教数学的任务。

不久前在新东方广州统测中拿到数学第一名，学而思广州统测的数学成绩也在前100名之列。这一年半的时间里，除了坚持参加学而思每周一次的线上课程，他花在数学上的时间不算多（没有准确的记录，估算每周还有额外的2~3小时家庭数学辅导）。在这个教学相长的过程中，我们始终坚定要学习数学思维，反对刷题。

现行数学补习教育的基本模式是
* 对题库中题目进行题型分类，并对每类题型设定一个最优解法
* 老师上课讲解题型特点并教授最优解法
* 课后通过大量同类型题目的练习让小朋友对题型和最优解法形成条件反射。

现行教育机构以教授解题技巧和刷题进行巩固为核心的教育模式是不科学的，比如说把应用题分割成若干细小的知识碎片，比如行程问题、鸡兔同笼问题、工程问题等问题，然后给每个问题配上一套最佳的解题技巧。同样计算、最值问题、组合等每个大类下面又划分出若干小类，逐一教授解题技巧。

这种细分题目类型并逐一教授解题技巧的教育模式给学生的学习带来了极大的压力，因为要理解并记忆这么多题目类型和解题技巧是极为耗损精力，所以需要辅助大量的重复练习把所学的知识转化为条件反射。这种方式还严重剥夺了学生对数学的整体理解和学习数学所能带来的愉悦，因为刷题不是探索未知的世界，而是在已知世界中进行重复和机械的劳动。这种单调的解题练习最终会让学生过早地厌恶数学，从而早早丧失了对这门号称“一切科学的语言”的学科的热情。

数学教育必须围绕“数学思维”展开，基于“数学思维”的教学须满足以下三个目标：
* 围绕核心数学概念展开，抛开人为的认知割裂，
* 建立普遍适用的认知模式，而不是特殊题型的特殊解法。
* 当前传授的知识必须成为学习高阶知识的基础，而不是应对将来挑战的可有可无的部分。

基于以上目的，我把教学内容分成两个部分
* 用高观点阐释概念，从简单案例出发，深入解释核心概念并拓展到通用模式；
* 结合普适的解题思路，建立清晰、明确的思考习惯；

围绕高观点和简单案例阐释核心概念，可以帮助学生清晰地理解核心概念，并了解它在数学大厦中的大致位置。通用的认知模式帮助学生拓展核心概念的运用边际，同时学生在认知模式运用过程中直观感受到数学之美。最重要的是数学思维的养成可以帮助学生去探索全新的未知的挑战，不会每次都成功，但他不会害怕，因为他有可以依仗的武器对未知的题目展开思考，而特殊的解法在应对全新挑战时则完全束手无策，毫无头绪。

以应用题为例，在对多个变量及其等式变化有了清晰的认知和熟练的运用之后，解题者只需要做两件事情。
* 首先，用数学的语言准确表达题目，也就是把对题目的理解用数学等式表达出来；
* 其次，解建立起来的方程组。

举一个六年级数学题为例:
甲从A地出发匀速去B地，在AB中点C地被从A地晚出发10分钟的乙追上，乙又走了280米，立即调头，再行一段与甲迎面相遇，这时甲已经离开C地6分钟；结果当甲到B地时，乙恰好回到A地，如果乙的速度始终未变，那么A、B两地间的路程为_________米

这是一道比较难的行程题目，这道题目的难点在于如何表达如此众多的关系和变量，如果只设立一个A、B两地间路程为 X 米这一个变量，学生通常无法用一个变量表达题目中复杂的数量关系，花费太多时间而最终无从下手。而当学生对多元变量不再害怕（实际上一元变量和多元变量差别不大，只是教学大纲人为割断了期间的联系），他不用思考任何解法和变量之间的关系，直接把题目的每一句话直接用变量或等式表达出来即可。

基本列式如下：
* 第一句话：( x / 2 ) / V甲 = ( x / 2 ) / V乙 – 10
* 第二句话：280 + ( 280 – 6 V甲 ) = 6 V乙
* 第三句话：x / V甲 = ( x + 280 * 2 ) / V乙

由上可见，当学生掌握了多个变量的概念，解复杂的应用题就不再需要特殊的解题技巧，也不需要繁杂的解题思路，它转变为一个把文字语言转化为数学语言的问题，这后者是每个学生都能训练出来的，并且训练量相比记住多种题型和解法负担轻太多。

数学是一门关于“模式”的学科，不是一门关于特殊和具体的学科，教育应该指引学生去认知和探索这些隐藏在具体事物背后的模式。