【解题报告】BSOI2550 方格取数游戏

【题目名称】：方格取数问题
Description

【问题描述】：
　　在一个有 m*n 个方格的棋盘中（1<=m,n<=30），每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意2个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。
【编程任务】：
　　对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

Input

　　由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2 个正整数 m和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的m行，每行有n个正整数，表示棋盘方格中的数。

Output

　　程序运行结束时，将取数的最大总和输出到文件output.txt中。

Sample Input

　　3 3
　　1 2 3
　　3 2 3
　　2 3 1

Sample Output

　　11
【题目分析】：
【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。
【C++源码】：

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=1024;
const int oo=0x7FFFFFFF/2-5;
const int dx[]={-1,0,1,0},
          dy[]={0,-1,0,1};

struct NODE{
       int st,ed,f;
       NODE *op,*next;
       NODE(){op=next=NULL;}
       }*g[maxn],*now[maxn],*pre[maxn];

typedef int Arr1[maxn];

int m,n;
int ST,ED;
int sum=0;
int a[55][55]={0};

Arr1 dis={0};
Arr1 back={0};
Arr1 sumd={0};

bool flag;
bool cor[55][55]={0};

void add(int st,int ed,int f)
{
     NODE *x,*y;
     x=new NODE;
     y=new NODE;
     x->op=y;
     y->op=x;
     x->st=st,x->ed=ed,x->f=f,x->next=g[st],g[st]=x;
     y->st=ed,y->ed=st,y->f=0,y->next=g[ed],g[ed]=y;
}

void Color(){
     int i,j,k;
     for( i=1 ;i<=m ;i+=2 ) cor[1][i]=1;
     for( i=2 ;i<=n ;i++ )
     {
          for( j=1 ;j<=m ;j++ ) cor[i][j]=!cor[i-1][j];
     }
}

void init(){
     int st,ed,v;
     int i,j,k,t;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     Color();
     ST=n*m+1;
     ED=n*m+2;
     for( i=1 ;i<=n*m+10 ;i++ ) g[i]=NULL;
     for( i=1 ;i<=n ;i++ )
          for( j=1 ;j<=m ;j++ )
          {
               scanf("%d",&a[i][j]);//cin>>a[i][j];
               sum+=a[i][j];
          }
     for( i=1 ;i<=n ;i++ )
          for( j=1 ;j<=m ;j++ )
          {
               int num=m*(i-1)+j;
               if( cor[i][j] )
                   add(ST,num,a[i][j]);
               else
                   add(num,ED,a[i][j]);
               if( cor[i][j] )
               for( k=0 ;k<4 ;k++ )
               {
                    int nx,ny;
                    nx=i+dx[k];
                    ny=j+dy[k];
                    if( nx<1 || nx>n || ny<1 || ny>m ) continue;
                    int num2=m*(nx-1)+ny;
                    if( cor[i][j]!=cor[nx][ny] )
                    add(num,num2,oo);
               }
          }
     n=n*m+2;
     for( int i=1 ;i<=n ;i++ ) now[i]=g[i];
}

void SAP(){
     int i,j,k;
     int ans=0;
     int flow=0x7FFFFFFF;
     for( sumd[0]=n,i=ST ;dis[ST]<n ; )
     {
          flag=false;
          back[i]=flow;
          for( NODE *t=now[i] ;t!=NULL ;t=t->next )
          {
               j=t->ed;
               if( t->f<=0 || dis[i]!=dis[j]+1 ) continue;
               flag=true;
               now[i]=t;
               pre[j]=t;
               flow<?=t->f;
               i=j;
               if( i==ED )
               {
                   ans+=flow;
                   while( i!=ST )
                   {
                          pre[i]->f-=flow;
                          pre[i]->op->f+=flow;
                          i=pre[i]->st;
                   }
                   flow=0x7FFFFFFF;
               }
               break;
          }
          if( flag ) continue;
          int Min=n-1;
          for( NODE *t=g[i] ;t!=NULL ;t=t->next )
               if( t->f>0 && dis[t->ed]<Min )
               {
                   now[i]=t;
                   Min=dis[t->ed];
               }
          if( !(--sumd[dis[i]]) ) break;
          sumd[dis[i]=Min+1]++;
          if( i!=ST )
          i=pre[i]->st,flow=back[i];
     }
      cout<<sum-ans<<endl;
}

int main()
{
    init();
    SAP();
    return 0;
}