【基础算法】第三章 二分算法
例一 数列分段
题目描述
对于给定的一个长度为N的正整数数列A，现在将其分成M段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
输入格式
第1行包含两个正整数N,M。
第2行包含N个空格隔开的非负整数A。
输出格式
仅包含一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
样例输入
5 3
4 2 4 5 1
样例输出
6
分析
题中出现类似“最大值最小”的含义，这是答案具有单调性的最常见、最典型 的特征之一。设最优解为S，因为S的最优性如果要求每段和可以>S，那么一定存在一种划分方案使得总段数不超过M。因此答案就处于分段可行性的分界点上。
样例代码
bool check(int limit){
int cnt=1;sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(sum+a[i]<=n;i++){
sum+=a[i];
}
else cnt++,sum=a[i];
}
return cnt<=m;
}
Code
#include
using namespace std;
int n,m,a[100005],l,r,mid,ans;
bool check(int x){
int sum=0,num=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(sum+a[i]<=x)
sum+=a[i];
else sum=a[i],num++;
}
return num>=m;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i],l=max(l,a[i]),r+=a[i];
while(l<=r){
mid=l+r>>1;
if(check(mid))
l=mid+1;
else
r=mid-1;
}
cout< 例二 防具布置
题目描述
现在有N组防具。 我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。 也就是说，我们可以用三个整数 和 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的S,S+D,S+2D...S+KD位置上。 若一个位置上的防具数量为奇数，则我们称这个位置有破绽，但是整个防线上有且仅有一个位置有破绽或根本没有破绽。请你求出破绽的位置，或是确定防线没有破绽。
输入格式
第一行是一个整数T，表示有T组互相独立的测试数据。
每组数据的第一行是一个整数N。
之后N行，每行三个整数S,E,D，代表第i组防具的三个参数，数据用空格隔开。
输出格式
对于每组测试数据，如果防线没有破绽，输出一行 There's no weakness.。
否则在一行内输出两个空格分隔的整数P和C，表示在P位置 有C个防具。当然C应该是奇数。
样例输入
3
2
1 10 1
2 10 1
2
1 10 1
1 10 1
4
1 10 1
4 4 1
1 5 1
6 10 1
样例输出
1 1
There's no weakness.
4 3
分析
首先，若S（2^(31)-1）为偶数，则整道防线没有破绽。
否则，设破绽的位置为P，故只有P上有奇数个防具，其他位置上都有偶数个，则对于x
Code
#include
#define N 200010
using namespace std;
int T, n;
long long s[N], e[N], d[N], l, r, mid, ans;
long long f(long long x){
long long sum=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (s[i]<=x)
sum+=(min(x,e[i])-s[i])/d[i]+1;
return sum;
}
void work ()
{
cin>>n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin>>s[i]>>e[i]>>d[i];
if (f((long long)2147483647)%2==0){
printf("There's no weakness.\n");
return;
}
l=ans=1,r=(long long)2147483647;
while (l < r)
{
mid = (l + r) / 2;
if (f(mid) % 2 == 1) r = mid;
else l=mid+1;
}
cout<>T;
while(T--)
work ();
return 0;
}
例三 最大均值
题目描述
给定正整数序列A，求一个平均数最大的，长度不小于L的（连续的）子段。
输入格式
第一行两个整数N和L。
接下来N行，每行输入一个正整数A。
输出格式
输出一个整数，表示平均值的最大值乘以1000再向下取整之后得到的结果。
样例输入
10 6
6
4
2
10
3
8
5
9
4
1
样例输出
6500
分析
注意到答案具有单调性，考虑二分答案，判定“是否存在一个长度不小于L的子段，平均值不小于mid”。
如果把序列里每个数都减去二分的值，就进一步转化为“是否存在一个长度不小于L的子段，子段和非负”。
然后只需要检查一下最大子段和是否为非负数，就可以确定二分上下界的变化范围了。
Code
#include
using namespace std;
const double N=1e-5;
int n,L;
double a[100004],b[100004],sum[100004];
bool check(double num){
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=a[i]-num;
for(int i=1;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-1]+b[i];
double ans=-1e10;
double v=1e10;
for(int i=L;i<=n;i++){
v=min(v,sum[i-L]);
ans=max(ans,sum[i]-v);
}
return ans>=0;
}
int main(){
double l=-1e6,r=1e6;
cin>>n>>L;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
while(l+N