三分钟学会快速排序（图示讲解，附代码，通俗易懂）

tag：分治、排序

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快速排序的通俗解释

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1.从数组中选出一个元素$x$(可以随意选取)

2.把所有$<=x$的元素放在x前面（形成一个子区间），所有$>=x$大的元素放在$x$后面（形成另一个子区间）

3.使用递归的方法，对“2”中形成的两个子区间重复执行操作，最终可以得到一个排好序的数组

换句话说，快速排序就是递归的做这样一个事情：把一个区间划分为两个子区间，左区间全都$<=$标记数$x$，右区间全都$>=$标记数$x$。经过递归调用自身函数，最终得到排序好的数组。

通过下面的gif动图，可以更加形象的理解：

关于快排的递归问题及其分析，可以参考这篇博客：
对快速排序进行尾递归优化

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r)
        return;//区间里面只有一个数或者没有数
    int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;//选择中间数作为标记数

    while (i < j)//执行一次while语句，可以使一个区间划分为两个区间
    {
        do i++;while (q[i] < x);
        do j--;while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q,j+1,r);
}

对上述图示与代码的解释与模拟

假设有这样一个数组q

q=[5,4,3,1];

选取中间数4作为分割区间的标记数，在初始时，i，j对应的下标分别是-1和4，如下图所示：

经过一次do while语句之后，i，j分别对应0和3，指向数组第一个和最后一个元素。

为了使前一个区间全都小于标记值4，后一个区间全都大于标记值4，我们使i++，直到i对应的值大于或等于标记值4；使j–，直到j对应的值小于或等于值4，之后进行元素值的交换（swap语句）。

通过这一次while循环，可以使得原先数组的前一半部分全部小于或等于标记值4，后一部分全都大于或等于标记值4。

while (i < j)//每经过一次while循环
    {
        do i++;while (q[i] < x);
        do j--;while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }

把5和1进行交换：

交换之后得到：

此时i = 0，j = 3，满足i < j，进入下一次while循环：

我们发现此时i指向4，j指向3，交换值，可以得到：

最终经过一次while循环，我们得到了基于标记值4的数组分割：即前面的数字都$<=$ 4，后面的数字都 $>=$ 4

最后递归的对这两个小区间进行快速排序，即：

quick_sort(q, l, j);
quick_sort(q,j+1,r);

算法复杂度分析

平均时间复杂度：$O(n\log n)$

每进行一次【划分区间】操作，会递归调用处理一半大小的数列。因此，在递归结束前，我们要作$O(\log n)$次嵌套的调用，即调用树的深度是$O(\log n)$。程序调用的每一层次结构总共全部仅需要$O(n)$的时间。结果是这个算法仅需使用$O(n\log n)$时间。

最差时间复杂度：$O(n^2)$

当数组已经排好序的情况下，快速排序退化为冒泡排序。

每一个区间划分成的两子区间分别含有$1$ 和$n-1$个元素。第$i$ 次调用作了$O(n-i)$的工作量，且
$$\sum _{i=0}^n(n-i)=O(n^2)$$
递归关系式为：
$$T(n)=O(n)+T(1)+T(n-1)=O(n)+T(n-1)$$

这与插入排序与选择排序有相同的关系式，上式被解为$T(n)=O(n^2)$。

c++代码

#include 
#include
#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r)
        return;//区间里面只有一个数或者没有数
    int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;

    while (i < j)//每经过一次while循环
    {
        do i++;while (q[i] < x);
        do j--;while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q,j+1,r);
}

int main()
{
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n;i++)
        cin >> q[i];

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for (int i = 0;i < n;i++)
        cout << q[i]<<" ";

    return 0;
}

运行截图