二叉树的基本概念

前言：

• 本文介绍 二叉树相关知识。

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树

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点.
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、T，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。
• 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的
  

树的相关名词

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林 .

结点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点或者终端结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：与叶结点相反的,度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点 。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：A的度6最大，所以树的度为6

节点的层次：考虑可能为空树，一个结点也没有。这里约定根结点为第一层。从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的表示

树的表示方法很多：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
}；

树的引用

可以发现树的物理结构有限像，我们电脑中的文件系统：

二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：

1. 二叉树结点的度最大为2
2. 二叉树的子树有左右之分，因此二叉树是有序树。

二叉树的一些规律

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^（i-1)个结点.-----这是一个递增数列求子项问题。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h -1 . ----递增数列求和问题。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2 ,总是有 N0＝ N2＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(N+1). ----------------2^h-1=N。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

   1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2. 若2i+1=n否则无左孩子—下标越界,
   3. 若2i+2=n否则无右孩子—下标越界

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二叉树的组成类型

特殊的二叉树

满二叉树：二叉树的每层都达到最大结点数(2^h -1)，构成的二叉树为 ：满二叉树

完全二叉树：H层的二叉树，前H-1层是满二叉树，第H层可以是也可以不是满二叉树，但是一定按照严格的：下插入左结点，后右结点，进行结点的插入。因此满二叉树是特殊的完全二叉树。

二叉树的存储

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构 .

• 顺序存储：就是使用数组来存储，只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。二叉树顺序存储在物理上是一个数组（即内存中连续的存储单元），在逻辑上是一颗二叉树。
  

• 链式存储：通过左右孩子法来存储二叉树.缺点：不好查找双亲结点。
  
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题目

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

答案：B。二叉树中，度为0的永远比度为2的多一个。所以叶子结点有 200个，200+199=399，存在该二叉树。

2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）

   A 非完全二叉树
   B 堆
   C 队列
   D 栈

   答案：A.数组形式一般适合 完全二叉树，不会过多浪费空间，但是非完全会浪费更多。

3. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

答案 :A. 设度为0的为N0个，度为2的为N2个，完全二次树中可能存在度为1的，因此设为N1;

​ N0=N2+1;

2N=N2+N0+N1

2N=2N0-1+N1;

因为N1只能在0和1中取值，且由奇偶规律可以知道，N1必然为1.

2N=2N0,N0=N;

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