背包问题 I

目录

01背包问题

完全背包问题

多重背包问题 I

分组背包问题

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01背包问题

AcWing 2. 01背包问题（状态转移方程讲解） - AcWing

• 当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 N 件物品，则需要 N 次决 策，每一次对第 i 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。 

• 当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解：对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。

当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i 个物品：

选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。

不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。

我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max()。

#include
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
				if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); 
			}
	cout<

 

一维优化：

• 为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。
• 只有当枚举的背包容量 >= v[i] 时才会更新状态

for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= v[i]; j--)
    {
        
        f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前
        f[j] = f[j];            // 优化后，该行自动成立，可省略。

        if(j>=v[i])
        {   
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);               // 优化后
        }
    }    

 理解并全文背诵写法：

#include
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
			}
	cout<

完全背包问题

有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

详细题解（挺复杂的） 

 AcWing 3. 完全背包问题 - AcWing

#include
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
				if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); 
			}
	cout<

 总结：

两个代码其实只有一句不同（注意下标）

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包

f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

 终极写法：

#include
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=v[i];j<=m;j++)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
			}
	cout<

这时候我们惊奇的发现之间区别：

int j=m;j>=v[i];j--//01

int j=v[i];j<=m;j++//完全

虽然代码差不多，但是两者的思路与优化有很大差别。

多重背包问题 I

（数据范围较小型）

 

#include
using namespace std;
const int N=101;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)//暴力，一个个装入尝试
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
				
	cout<

 多重背包2（数据范围较大）

AcWing 5. 二进制优化，它为什么正确，为什么合理，凭什么可以这样分？？ - AcWing

分组背包问题

题目描述
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

与01背包问题相似，只是需要多一个循环来查找装哪一个物品

#include 
#include 
using namespace std;

const int N=110;
int f[N][N];  //只从前i组物品中选，当前体积小于等于j的最大值
int v[N][N],w[N][N],s[N];   //v为体积，w为价值，s代表第i组物品的个数
int n,m,k;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j>v[i][j]>>w[i][j];  //读入
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];  //不选
            for(int k=0;k=v[i][k])     f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);  
            }
        }
    }
    cout<

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= 0; j -- )
            for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

 说实话，感觉入门了，但没完全入门，要走的路还有很长.......