最近公共祖先之树上倍增求法

一、问题引入

最近公共祖先（LCA）是求有根树上两点的深度最低的祖先节点，如下图，点5和点2的最近公共祖先为点4，点5和点3的最近公共祖先为点1，点5和点1的最近公共祖先为点1。

二、朴素算法

知道LCA定义后考虑最暴力的求解方法，可以先让在下面的点一层一层往上爬，直到两点具有相同深度（高度），之后两点同时一层一层往上爬，直到两点相同，这个相同的点就是最近公共祖先，若有m次询问，该算法时间复杂度为O(nm)，显然过于暴力了。

三、树上倍增算法

朴素算法中找祖先节点都是一层一层地找，这样实在太慢了，如果能一次多爬几层就好了。于是我们运用二进制+倍增的思想，以指数级的速度光速向上爬。

在真正向上爬之前需要预处理出几个很有用的数组：fa数组（fa[i][j]表示i结点向上2^j层的祖先节点），depth数组（depth[i]表示i结点深度），log2数组（以2为底i的对数，可用可不用，有些模板需要用到，另外也有现成的函数可以替代）。如果学习过st表可能会发现fa数组很眼熟（学习链接：st表总结），这里的fa数组其实就是改变了下st表中f数组的定义，让它和树结合起来罢了。

depth和log2的预处理就不讲了，主要说下fa数组如何得到。在dfs中结点遍历是从根节点依次向下的，若已知当前节点父节点的fa数组，那当前节点的fa数组就很好求了，用这个式子fa[now][i] = fa[fa[now][i-1]][i-1]从1开始递推就行了，另外要初始化fa[now][0]为now的父节点。由于根节点的fa数组显然是已知的，那么就可以借助dfs从根节点向下更新其它结点的fa数组。

预处理完所有数组后就剩最后一步了，就是指数级地向上爬了。假如有两个结点x和y，x深度大于y的深度，按照朴素算法应该先把x提升至y的深度，假设x和y的深度差为13，将13转化为二进制是1101，也就是8、4和1，令x = fa[x][3]，这时x就向上爬了8层，然后令x = fa[x][2]，x向上爬了4层，最后令x = fa[x][0]，x向上爬了1层，这样就到达了和y相同的深度。然后就是x和y一起向上爬，在这之前要加个特判，如果x和y已经相等了直接返回，不然会出错。x和y一起向上的过程和之前的过程是类似的，不过现在不知道目标点和当前层的深度差，所以要试探性地向上爬，i从大到小循环，如果fa[x][i] != fa[y][i]那么x = fa[x][i], y = fa[y][i]，这样最终可以到达lca下面的一层，x或y的父节点就是lca。

这个算法预处理时间复杂度为O(nlogn)，单次查询时间复杂度为O(logn)。

以P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）为例放一个模板。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int head[500005], cnt, n, m, s, dep[500005], fa[500005][21];
struct edge
{
	int to, next;
}e[1000005]; 

void add(int u, int v)
{
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}

void dfs(int now, int pre)
{
	dep[now] = dep[pre]+1;
	fa[now][0] = pre;
	for(int i = 1; i <= 20; i++)//超出范围的祖先都是0号结点 
		fa[now][i] = fa[fa[now][i-1]][i-1];
	for(int i = head[now]; i; i = e[i].next)
		if(e[i].to != pre)
			dfs(e[i].to, now);
}

int lca(int x, int y)
{
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y); 
	//先把x提升到和y同样的深度
	for(int i = 20; i >= 0; i--)
		if(dep[fa[x][i]] >= dep[y])
			x = fa[x][i];
	//如果此时x和y已经是lca，接下来无法到达lca下一层，若不特判一定出错 
	if(x == y) return x; 
	//然后x和y同时提升到lca的下一层
	for(int i = 20; i >= 0; i--)
		if(fa[x][i] != fa[y][i])
			x = fa[x][i], y = fa[y][i];
	return fa[x][0]; 
}

signed main()
{
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v), add(v, u);
	}
	dfs(s, 0);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n", lca(x, y));
	}
    return 0;
}