ACM数学题目2 同余方程(拓展欧几里得算法)

声明：
题目来源：https://www.luogu.com.cn/problem/P1082

题目描述

求关于 $x$ 的同余方程 $ax\equiv 1\text{mod}b$ 的最小正整数解。

输入格式
一行，包含两个正整数 $a,b$ 用一个空格隔开。

输出格式
一个正整数$x_0$，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入 #1

3 10

输出 #1

7

说明/提示

【数据范围】

对于$40\%$的数据，$2⩽b⩽1,000$。
对于$60\%$的数据，$2⩽b⩽50,000,000$。
对于$100\%$的数据，$2⩽a,b⩽2,000,000,000$。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

题解思路：

1.拓展欧几里得算法。

分析题目，不难得出下面的式子，
$ax+by=1$
我们要做的就是求出x最小的正整数解。
要得到有解的条件，首先要介绍引理1：

引理1：$ax+by=1$有解的必要条件。
$assume$ $that$ $ax+by=k$
$a|\gcd (a,b)$ $b|\gcd (a,b)$
$\Rightarrow ax+by|\gcd (a,b)$
$\Rightarrow k|\gcd (a,b)$
$so$ $k\text{mod}\gcd (a,b)=0$
$\Rightarrow \gcd (a,b)=1$

引理2：模余实现方法。
$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-b[\frac{a}{b}\rfloor$
例如: $13\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7=13-7[\frac{13}{7}\rfloor =6$
其原理可以总结为 $a$ 减去 $a$中含有的最多的 $b$ ，减到不能再减为止。

$ax+by=\gcd (a,b)=1$
$b{x}^{\prime }+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{\prime }=\gcd (a,b)=1$

$ax+by=b{x}^{\prime }+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y^{\prime }$
$=b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-b[\frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }$
$=a\left(y^{\prime }\right)+b\left(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }\right)$

$x\doteq x_1,y\doteq y_1,a\doteq a_1,b\doteq b_1$
$y^{\prime }\doteq x_2,x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }\doteq y_2$
$x_n=y_{n+1},y_n=x_{n+1}-\lfloor \frac{a_n}{b_n}\rfloor y_{n+1}.$

$a_2=b_1,b_2=a_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1$
$a_n=b_{n-1},b_n=a_{n-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_{n-1}$

$assume$ $that$ $f(a,b)=(x,y)$ $means$ $(x,y)$ $satisfy$ $that$ $equation$ $ax+by=1$.

$f\left(a_1,b_1\right)=\left(x_1,y_1\right)$
$f\left(a_2,b_2\right)=\left(x_2,y_2\right)$
$until$ $f\left(a_n,b_n\right)=(\gcd (a,b),0)=(1,0)$, $calculate$ $\left(x_{n-1},y_{n-1}\right)$ $reverswise$.

$for$ $example$, $a=3,b=10$;
$3x+10y=1$;
$f\left(a_1,b_1\right)=f(3,10)=\left(x_1,y_1\right);$
$f\left(a_2,b_2\right)=f(10,3)=\left(x_2,y_2\right)$
$f\left(a_3,b_3\right)=f(3,1)=\left(x_3,y_3\right)$
$f\left(a_4,b_4\right)=f(1,0)=\left(x_4,y_4\right)=(1,0)$
$x_1=y_2=x_3-\lfloor \frac{a_2}{b_2}\mid y_3=y_4-\lfloor \frac{a_2}{b_2}\rfloor \left(x_4-\lfloor \frac{a_3}{b_3}\rfloor y_4\right)$
$=0-\lfloor \frac{10}{3}\rfloor \left(1-\lfloor \frac{3}{1}\rfloor \right)=-3\equiv 7\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10$

$for$ $example$, $a=31,b=3731;$
$31x+3731y=1;$
$f\left(a_1,b_1\right)=f(31,3731)=\left(x_1,y_1\right);$
$f\left(a_2,b_2\right)=f(3731,31)=\left(x_2,y_2\right);$
$f\left(a_3,b_3\right)=f(31,11)=\left(x_3,y_3\right);$
$f\left(a_4,b_4\right)=f(11,9)=\left(x_4,y_4\right);$
$f\left(a_5,b_5\right)=f(9,2)=\left(x_5,y_5\right);$
$f\left(a_6,b_6\right)=f(2,1)=\left(x_6,y_6\right);$
$f\left(a_7,b_7\right)=f(1,0)=\left(x_7,y_7\right)=(1,0)$
$x_6=y_7=0;$
$y_6=x_7-\lfloor \frac{a_6}{b_6}\mid y_7=1;$
$x_5=y_6=1$
$y_5=x_6-\lfloor \frac{a_5}{b_5}\rfloor y_6=-4;$
$x_4=y_5=-4;$
$y_4=x_5-\lfloor \frac{a_4}{b_4}\mid y_5=5;$
$x_1=y_2=x_3-\left|\frac{a_2}{b_2}\right|y_3=y_4-\lfloor \frac{a_2}{b_2}\mid (x_4-\lfloor \frac{a_3}{b_3}\mid y_4)=5-\lfloor \frac{3731}{31}]\left(-4-\left|\frac{31}{11}\right|\times 5\right)$
$=1685$
$31\times 1685\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3731=1.$

代码如下：

#include

using
		namespace
					std;

pair<int,int> find(int a,int b){
	if(a==1&&b==0) return pair<int,int>(1,0);
	pair<int,int> p=find(b,a%b);
	return pair<int,int>(p.second,p.first-(a/b)*p.second);
}

int refine(int a,int b){
	a=a%b;
	if(a<0) a+=b;
	return a;
}

int main(){
	int a,b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	printf("%d",refine(find(a,b).first,b));
	return EOF+1;
}

2.利用欧拉函数性质。

引理3：欧拉函数幂的同余性质：
$assume$ $that$ $\phi (b)$ $is$ $the$ $Eule{r}^{\prime }s$ $totient$ $function$ $of$ $b$
$a^{\phi (b)}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$

通过引理3可以推得下列等式：
$ax\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
$ax\equiv a^{\phi (b)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
$x\equiv a^{\phi (b)-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$
可以观察到，方程右边已经没有未知量，考虑到数据范围，只需用Euler筛法筛出$\sqrt{2\times 10^9}⩽45,000$以内的质数，只有少于$5000$个。
然后计算$b$的欧拉函数即可。
代码如下：

#include
#include

#define lint unsigned long long

#define sqmaxn 45000
#define dnprime 4680

using
		namespace
					std;

bool isprime[sqmaxn];
lint prime[dnprime],nprime;

void Euler_mesh(){
	memset(isprime,true,sizeof(isprime));
	nprime=0;
	for(int i=2;i<sqmaxn;i++){
		if(isprime[i]){
			prime[nprime]=i;
			nprime++;
		}
		for(int j=0;i*prime[j]<sqmaxn;j++){
			isprime[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	
}

lint phi(lint x){
	lint ans=1;
	for(int i=0;i<nprime;i++){
		if(x%prime[i]==0){
			x/=prime[i];
			ans*=prime[i]-1;
			while(x%prime[i]==0){
				x/=prime[i];
				ans*=prime[i];
			}
		}
	}
	return x>1?ans*(x-1):ans;
}

lint pow(lint a,lint b,lint mod){
	lint ans=1,base=a;
	while(b>0){
		if(b&1){
			ans=(ans*base)%mod;
 
		}
		base=(base*base)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

signed main(){
	Euler_mesh();
	lint a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<pow(a,phi(b)-1,b);
	return EOF+1;
}