算法整理四——递归
目录
一、递归概述
一、求n！
二、斐波那契数列
三、汉诺塔问题
四、猴子摘桃问题
五、十进制转换为二进制
六、逆序（或正序）输出一个正数中的每一位数
七、集合的全排列【一点点不好理解】
八、整数划分问题
九、递归求平方和函数（openjudge题目）
一、递归概述
（1）分治算法策略主要通过递归实现，大规模问题分解成小规模问题
可以理解为分治是一种算法思想，递归是实现这种思想的一种手段
- 分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之
- 直接或间接地调用自身的算法/函数称为递归算法/函数
- 用递归解决问题时，关键是确定递归体和递归出口
（2）掌握用递归方法解决问题：n!、菲波那契数列、汉诺塔问题、猴子摘桃问题、十进制转换为二进制、逆序（或正序）输出一个正数中的每一位数、集合的全排列、整数划分问题、递归求平方和函数（openjudge题目）
（3）递归程序的优点：
在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。
（4）递归程序的缺点：
递归算法解题的运行效率较低
在递归调用过程中，系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了堆栈来存储。递归次数过多容易造成堆栈溢出等。
（5）解题思路：求n!
- 递推：递推法的特点是从一个已知的事实(如1!=1)出发，按一定规律推出下一个事实(如2!=1!*2)，再从这个新的已知的事实出发，再向下推出一个新的事实(3!=3*2!)。n!=n*(n-1)!。
- 递归：即５！等于４！×５，而４！＝３！×４…，１！＝１
其实这样感觉的话递归、递推也没有太大的区别，那就从题目代码上来看一下区别吧。
一、求n！
#include
using namespace std;
int fac(int n)//n>=0
{
int f;
if(n==0||n==1)
f=1;
else
f=fac(n-1)*n;
return f;
}
int main(){
int n;//代表有几列
cin>>n;
cout< 二、斐波那契数列
用递推输出的是n个斐波那契数列
用递归输出的是第n个斐波那契数列是多少？
#include
using namespace std;
int fib(int n)//n>=0
{
int a;
if(n==1||n==2)
a=1;
else
a=fib(n-1)+fib(n-2);
return a;
}
int main(){
int n;//代表有几列
cin>>n;
cout< 三、汉诺塔问题
用递推求的是移动n个盘需要多少次？
用递归求的是如何移动？
#include
using namespace std;
void move(char from,char to)
{
cout<<"Move "<B
move(first,third);
hanoi(n-1,second,first,third);//B->C
}
}
int main(){
int m;
cout<<"小圆盘的个数为:";
cin>>m;//m个小圆盘需要移动
hanoi(m,'A','B','C');
} 四、猴子摘桃问题
递推关系:f(n-1)=(f(n)+1)*2 边界条件：f(10)=1
递归·终止条件 n=10,返回1；
#include
using namespace std;
int f(int n)//n>=0
{
if(n==10)
return 1;
else
return (f(n+1)+1)*2;
}
int main(){
cout< 五、十进制转换为二进制
编写一个递归函数，将10进制转化成radix进制（输出二进制形式）
【除2求余，到商为0终止】
#include
using namespace std;
int change(int a,int radix)
{
if(a!=0)
{
change(a/radix,radix);
cout<>x>>radix;
change(x,radix);
cout< 六、逆序（或正序）输出一个正数中的每一位数
例如，对于数12345，依次输出5 4 3 2 1
#include
using namespace std;
int change(int a)
{
if(a/10==0)//个位数
{
cout<>x;
change(x);
cout< 七、集合的全排列【一点点不好理解】
#include
using namespace std;
int Perm(int list[],int k,int m)
{
if(k==m)
{
for(int i=0;i<=m;i++)
cout< 八、整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。
分析：
整数6的划分方法数 =最大加数等于6的划分方法数 +最大加数等于5的划分方法数 +最大加数等于4的划分方法数 +最大加数等于3的划分方法数 +最大加数等于2的划分方法数 +
最大加数等于1的划分方法数
即：
整数6的划分方法数 =最大加数等于6的划分方法数 +最大加数不大于5的划分方法数
或者
整数6的划分方法数 =最大加数不大于6的划分方法数
将n的最大加数不大于m的划分个数记作q(n,m)
- n>m>1 q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)
- n=1||m=1 q(n,m)=1
- m>n q(n,m)=q(n,n)
- m=n q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)
#include
using namespace std;
int zshf(int n,int m){
if(n<1)
return 0;
else if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n 九、递归求平方和函数（openjudge题目）
#include
using namespace std;
int f(int n)
{
if(n==0||n==1)
return n;
else
return n*n+f(n-1);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
cout< 大家都要加油啊！！！