【课程笔记】中科大凸优化（二）

仿射集

• 定义

  
  • 等价定义：线性方程组的解集\(C=\{x \mid A x=b\}\)是仿射集，对应的子空间是\(A\)的化零空间

• 理解

  • 仿射集内任意两点的所在的直线也在仿射集内

  • 仿射集内多个点的仿射组合\(\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k},\theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\)也在放射集内

    证明思路：先将两个点用放射组合构成一个新的点，该点在仿射集内；依次组合下去，则最新的点同时满足1）是原有若干点的仿射组合；2）在仿射集内

  • “仿射”的含义就是任意两点连接成直线的并集

• 特殊的仿射集：仿射集\(C\)的子空间 \(V=C-x_{0}=\left\{x-x_{0} \mid x \in C\right\},\alpha v_{1}+\beta v_{2} \in V\)

  • 证明\(V\)也是仿射集且任意\(\alpha,\beta\)有\(\alpha v_{1}+\beta v_{2} \in V\)：\(\alpha v_{1}+\beta v_{2}+x_{0}=\alpha\left(v_{1}+x_{0}\right)+\beta\left(v_{2}+x_{0}\right)+(1-\alpha-\beta) x_{0} \in C\)
  • 子空间有更好的性质，只要是线性组合都在该空间内

  任何空间都满足\(\forall \alpha, \beta \in V, k_{1}, k_{2} \in P, k_{1} \alpha+k_{2} \beta \in V\)，因此一定是一个仿射集

  • 空间一定包含原点\((0,0)\)（原仿射集中的\(x_0\)）
  • 注意\(x_0\)也要在仿射集内

• 给定任意集合\(C \subseteq \mathbf{R}^{n}\)，构造尽可能小的仿射集：仿射包（the set of all affine combinations of points）

  \[\operatorname{aff} C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{1}, \ldots, x_{k} \in C, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\} \]

凸集

• 定义：

  

  一个集合是凸集，当任意两点之间的线段仍在集合内

• 理解

  • 相较于仿射集增加了\(0 \leq \theta \leq 1\)的条件，因此表述范围更小（是子集），凸集\(\sub\)仿射集

• 凸包：（the set of all convex combinations of points）

  \[\operatorname{conv} C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{i} \in C, \theta_{i} \geq 0, i=1, \ldots, k, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\} \]

锥/凸锥

• 定义：

  

• 理解：

  • 锥的定义没有元素的组合，只有\(\theta x \in C\)

  • 锥可以看成头集中在原点的若干火柴的拼接（无穷多组原点起点的射线组成）

  • 凸锥=锥+凸集

    凸锥的定义是任意的\(\theta_1,\theta_2\)，因此包含了\(\theta_1+\theta_2=1\)的情况，描述范围更窄，凸锥一定是凸集

    （条件里面加任意，其实是条件更严苛，对应的往往范围更小）

• 凸锥包：包含集合所有点以及原点的最小冰淇淋

相互比较以及特殊的集合

基本框架都是满足：对于任意\(x_1,x_2\in C\)，则\(\theta_1 x_1+\theta_2 x_2 \in C\)（线性组合仍属于集合）

区别是系数的条件（越来越苛刻）

• 仿射集：\(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_k=1\)，系数和为1（构成直线）
• 凸集：\(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_k=1\)，\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\in[0,1]\)，系数和为1，每个系数在0到1之间（构成线段）
• 凸锥：\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\in[0,+\infty)\)，非负系数（构成射线）

特殊的集合

• 单点集：仿射集、凸集、仅当原点时是凸锥
• 空集：仿射集、凸集、凸锥