全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理

极限求解

    • 极限求解方法
      • 1.四则运算+连续性定理
      • 2.两个重要极限+夹逼准则
      • 3.两个重要公式:洛必达法则+泰勒展开式
      • 4.定积分定义

极限求解方法

求极限的解题步骤:

整理表达式(含分子去根号)->等价量替换->洛必达法则->整理表达式

注:当被求函数含有多种函数类型且分别求导时函数变得更复杂,则优先考虑使用泰勒公式求极限

1.四则运算+连续性定理

常用极限:
全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第1张图片
需考虑左右极限的几个特殊函数:
在这里插入图片描述
等价量无穷小替换定理:全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第2张图片
注:
1.在求极限过程中只有乘、除因子可以用其等价无穷小替换
2.当 x -> 0 时,关于 x 的有限个相互不同阶无穷小代数和与其阶数最低的部分等价(取大头原则);加法取大头原则, 乘法用等价量原则.
3.加减法或幂指函数时不直接使用其等价无穷小替换.

常用等价无穷小:
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极限四则运算:
在这里插入图片描述

例题1(2011年第三届初赛):

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例题2(2013年第五届初赛):

全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第5张图片

2.两个重要极限+夹逼准则

1.在这里插入图片描述
2.
在这里插入图片描述

例题1(2012年第四届初赛):

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例题2(2018年第十届初赛):

全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第7张图片

3.两个重要公式:洛必达法则+泰勒展开式

洛必达法则使用注意:
全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第8张图片
泰勒展开式
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例题1(2009年第一届初赛):

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例题2(2010年第二届初赛):

全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第11张图片

4.定积分定义

若函数f(x)在区间[a,b]上可积分,则有n等分的特殊分法:
在这里插入图片描述

例题1(2015年第七届初赛):

全国大学生数学竞赛(非数学专业组)极限知识点整理_第12张图片
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