AtCoder Beginner Contest 242 C~E 题解

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ABC242 C~E

  • [C - 1111gal password](https://atcoder.jp/contests/abc242/tasks/abc242_c)
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  • [D - ABC Transform](https://atcoder.jp/contests/abc242/tasks/abc242_d)
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C - 1111gal password

题目大意

给定正整数 N N N,求符合下列条件的整数 X X X的个数,对 998244353 998244353 998244353取模:

  • X X X N N N位的正整数
  • X X X每一位数都在 [ 1 , 9 ] [1,9] [1,9]之间(0不行
  • X X X的相邻两位数之差的绝对值不超过 1 1 1

2 ≤ N ≤ 1 0 6 2\le N\le 10^6 2N106

输入格式

N N N

输出格式

输出答案。

样例

N N N 输出
4 4 4 203 203 203
2 2 2 25 25 25
1000000 1000000 1000000 248860093 248860093 248860093

分析

根据乘法原理可得,符合条件的 N N N位数最多有 9 N 9^N 9N个,显然不能暴力求解。
但是,由于每一位会被上一位所限制,所以我们很容易想到使用 DP \text{DP} DP求解。
f ( i , j ) = X f(i,j)=X f(i,j)=X的第 i i i位上出现 j j j的可能数,易得:
f ( i , j ) = { 1 ( i = 1 ) f ( i − 1 , 1 ) + f ( i − 1 , 2 ) ( j = 1 ) f ( i − 1 , 8 ) + f ( i − 1 , 9 ) ( j = 9 ) f ( i − 1 , j − 1 ) + f ( i − 1 , j ) + f ( i − 1 , j + 1 ) ( i > 1 , 2 ≤ j ≤ 8 ) f(i,j)=\begin{cases} 1&(i=1)\\ f(i-1,1)+f(i-1,2)&(j=1)\\ f(i-1,8)+f(i-1,9)&(j=9)\\ f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)&(i>1,2\le j\le8) \end{cases} f(i,j)=1f(i1,1)+f(i1,2)f(i1,8)+f(i1,9)f(i1,j1)+f(i1,j)+f(i1,j+1)(i=1)(j=1)(j=9)(i>1,2j8)
因此,直接输出 ∑ i = 1 9 f ( n , i ) \sum\limits_{i=1}^9f(n,i) i=19f(n,i)即可。

代码

本代码运用了滚动表的优化,当然也可以直接开 N × 9 N\times9 N×9大小的数组,但这样会导致内存占用大,不建议使用。

#include 
#define MOD 998244353
using namespace std;

inline void mod(int& x)
{
	if(x >= MOD) x -= MOD;
}

int dp[9], ldp[9];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<9; i++)
		dp[i] = 1;
	while(--n)
	{
		for(int i=0; i<9; i++)
			ldp[i] = dp[i];
		mod(dp[0] += dp[1]), mod(dp[8] += dp[7]);
		for(int i=1; i<8; i++)
			mod(dp[i] += ldp[i - 1]),
			mod(dp[i] += ldp[i + 1]);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=0; i<9; i++)
		mod(ans += dp[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

D - ABC Transform

题目大意

给定由ABC组成的字符串 S S S。令 S 0 = S S_0=S S0=S S i = S i − 1 S_i=S_{i-1} Si=Si1ABC分别替换为BCCAAB的新字符串。
回答 Q Q Q个查询,第 i i i个查询的问题如下:

  • S t i S_{t_i} Sti的第 k i k_i ki个字母。

1 ≤ ∣ S ∣ ≤ 1 0 5 1\le |S|\le 10^5 1S105
1 ≤ Q ≤ 1 0 5 1\le Q\le 10^5 1Q105
1 ≤ t i ≤ 1 0 18 1\le t_i\le 10^{18} 1ti1018
1 ≤ k i ≤ m i n ( 1 0 18 , S t i 1\le k_i\le min(10^{18},S_{t_i} 1kimin(1018,Sti的长度 ) ) )

输入格式

S S S
Q Q Q
t 1   k 1 t_1~k_1 t1 k1
⋮ \vdots
t Q   k Q t_Q~k_Q tQ kQ

样例

样例输入1

ABC
4
0 1
1 1
1 3
1 6

样例输出1

A
B
C
B
  • S 0 =   S_0=~ S0= ABC
  • S 1 =   S_1=~ S1= AABCB

样例输入2

CBBAACCCCC
5
57530144230160008 659279164847814847
29622990657296329 861239705300265164
509705228051901259 994708708957785197
176678501072691541 655134104344481648
827291290937314275 407121144297426665

样例输出2

A
A
C
A
A

注意小心整数溢出问题。

分析

f ( t , k ) = ( S 0 f(t,k)=(S_0 f(t,k)=(S0AAA.. S t S_t St的第 k k k个字母,其中ABC分别对应 0 , 1 , 2 0,1,2 0,1,2 k k k 0 0 0开始 ) ) ),则通过找规律可得:
f ( t , k ) = { 0 ( t = 0 ) g ( 0 , t ) ( k = 0 ) g ( f ( t − 1 , ⌊ k 2 ⌋ ) , ( k   m o d   2 ) + 1 ) ( t > 0 , k > 0 ) f(t,k)=\begin{cases} 0 & (t=0)\\ g(0,t) & (k=0)\\ g(f(t-1,\lfloor\frac k2\rfloor),(k\bmod2)+1) & (t>0,k>0) \end{cases} f(t,k)=0g(0,t)g(f(t1,2k),(kmod2)+1)(t=0)(k=0)(t>0,k>0)
其中 g ( c , x ) g(c,x) g(c,x)为字符 c c cA,B,C,A,...这个环中 c c c后面的第 x x x个字符,即 g ( c , x ) = ( c + x )   m o d   3 g(c,x)=(c+x)\bmod3 g(c,x)=(c+x)mod3
因此,我们只要求出 x x x S S S的哪个字符分解后的结果中,再计算 f f f即可。
答案为 a n s = g ( f ( t , ( k − 1 )   m o d   2 t ) , S ⌊ k − 1 2 t ⌋ ) \mathrm{ans}=g(f(t,(k-1)\bmod2^t),S_{\lfloor\frac {k-1}{2t}\rfloor}) ans=g(f(t,(k1)mod2t),S2tk1)

代码

以下两种示范代码均使用非递归形式,当然也可使用递归形式。

代码1(标准)

#include 
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int x = s[t < 64? k >> t: 0] - 'A'; // 防止t太大导致RE
		while(t > 0 && k > 0)
		{
			x = (x + int(k & 1LL) + 1) % 3;
			k >>= 1LL, t --;
		}
		putchar((t + x) % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

代码2(优化)

#include 
using namespace std;

char s[100005];

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int q;
	scanf("%d", &q);
	while(q--)
	{
		long long t, k;
		scanf("%lld%lld", &t, &k);
		k --;
		int c = 0;
		if(t < 64)
		{
			c = s[k >> t] - 'A';
			k &= (1LL << t) - 1LL;
		}
		else c = s[0] - 'A';
		for(c+=t%3; k>0; k&=k-1) c ++;
		putchar(c % 3 + 'A');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

E - (∀x∀)

题目大意

对于 T T T个测试点,分别解决下列问题:
给定整数 N N N和字符串 S S S,求合法字符串 X X X的个数,使其符合下列条件:

  • ∣ X ∣ = N |X|=N X=N
  • X X X由大写英文字母组成,是一个回文串
  • 按字典序, X ≤ S X\le S XS

1 ≤ T ≤ 250000 1\le T\le 250000 1T250000
1 ≤ N ≤ 1 0 6 1\le N\le 10^6 1N106
1 ≤ ∑ N ≤ 1 0 6 1\le \sum N\le 10^6 1N106
∣ S ∣ = N |S|=N S=N且由大写英文字母组成。

分析

显然,通过 X X X的前 ⌈ N 2 ⌉ \lceil\frac N2\rceil 2N个字符就可以确定唯一的 X X X。下面,我们以ABCDE为例:

  • ABCDE的前 ⌈ N 2 ⌉ \lceil\frac N2\rceil 2N个字符分别为ABC
  • 字典序小于ABC的字符串有 28 28 28个(可看作一个 26 26 26进制数来计算)
  • 判断ABCBA是否可行,与ABCDE比较
  • 可行,答案增加 1 1 1得到 29 29 29

因此,我们输出 29 29 29。其他情况类似。

代码

#include 
#define maxn 1000005
#define MOD 998244353
using namespace std;

using LL = long long;
char s[maxn];

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		int n;
		scanf("%d%s", &n, s);
		long long x = 0LL;
		int j = n - 1 >> 1;
		for(int i=0; i<=j; i++)
			(x = x * 26LL + s[i] - 'A') %= MOD;
		bool ok = true;
		while(j >= 0)
		{
			if(s[j] < s[n - 1 - j]) break;
			if(s[j] > s[n - 1 - j]) { ok = false; break;}
			j --;
		}
		if(ok && ++x == MOD) x -= MOD;
		printf("%lld\n", x);
	}
	return 0;
}

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