量子计算学习（2）：数学推导量子门作用

这一部分主要介绍量子计算涉及到的一部分数学知识（主要为线性代数），以及量子门在Bloch Sphere的作用表现

态矢

在上文有提到量子态可以用线性代数中的向量来描述（比如单量子比特为一个2为矢量）。
在量子理论中，描述量子态的向量被称为态矢，分为左矢和右矢，也就是上文提到的bra和ket。

• 右矢（ket）：$|\phi >={\left[\begin{array}{c}{c}_1,c_2,\cdots ,c_n\end{array}\right]}^T$（列向量）
• 左矢（bra）：$<\phi |=\left[\begin{array}{c}{c}_1^{\ast },c_2^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast }\end{array}\right]$（行向量）

对应地，左矢、右矢有这两种计算方式：内积、外积，假定有两个量子态|$\alpha$>=${\left[\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\cdots ,a_n\end{array}\right]}^T$、|$\beta$>=${\left[\begin{array}{c}{b}_1,b_2,\cdots ,b_n\end{array}\right]}^T$

• 内积：<$\alpha |\beta$> = ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^{\ast }{b}_i$
• 外积：|$\alpha$><$\beta$|=$$\begin{gathered} {\left[a_i{b}_j^{\ast } \\ \right]}_{n\times n} \end{gathered}$$

注意不要和张量积的运算混淆。

量子门在Bloch Sphere中的表现

上文我们了解到，量子门实际上就是一个矩阵，更准确的说他是一个旋转矩阵。

由于量子计算有一个特点：他的所有操作都是可逆的，这一点不同于数字电路（例如or、and门都是不可逆操作）。所以，我们量子门的等价矩阵都是可逆的，通常用U符号来表示，对应的变换为酉变换。

在数学上，酉矩阵有如下特点：
$$U{U}^{+}=I$$
其中的$U^{+}$为$U$共轭转置矩阵。

常见的酉变换有如下三个：

上文也有提到，这三个矩阵分别对应将态矢绕XYZ轴旋转180度。

绕XYZ轴旋转

那么如何表示绕XYZ轴旋转任意角度呢？

证明过程主要运用到了无穷级数以及酉矩阵的特点，下面以$R_x(\theta )$为例：
$$\begin{array}{rl}{R}_x(\theta )& =\sum \frac{1}{n!}(-i\theta X/2{)}^n\\ & =\sum \frac{1}{2n!}(i\theta X/2{)}^{2n}+\sum \frac{1}{(2n+1)!}(i\theta X/2{)}^{2n+1}\\ & =\sum \frac{(-1{)}^n}{2n!}(\theta X/2{)}^{2n}-i\sum \frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}(\theta X/2{)}^{2n+1}\\ & =I\sum \frac{(-1{)}^n}{2n!}(\theta /2{)}^{2n}-iX\sum \frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}(\theta /2{)}^{2n+1}\\ & =cos\frac{\theta }{2}I-isin\frac{\theta }{2}X\end{array}$$
（手打好累）

绕特定轴旋转

进一步推广，是否可以将U矩阵视为，将态矢量绕特定轴n旋转特定角度？
在Quantum Computation and Quantum Information 书中，我们可以得到以下结论：
其中

$\sigma$为泡利矩阵向量。（具体为什么长这样我也不知道）
查阅可知，H门表现在Bloch Sphere是绕XZ轴角平分线旋转180°，下面我们将通过推导得到这结论。
易知：
$$\begin{array}{rl}{R}_n(\pi )& =-i(n_{x}X+n_{y}Y+n_{z}Z)\\ & =-i\left[\begin{array}{cc}{n}_z& n_x-i{n}_y\\ n_x+i{n}_y& -n_z\end{array}\right]\end{array}$$
通过配凑可知，当n取$(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$时，则可转换为H门

旋转的ZY分解

书中还有一下结论，将任意单比特操作分解为ZY轴上的旋转操作：

用矩阵的形式展开则可得到：

这一结论还有很多的推论，这里就不详细展开了。

参考资料：

• Quantum Computation and Quantum Information