积性函数系列（一）：欧拉函数
本系列是数论篇章的第一篇（于是又挖了一个数论的坑orz），主要介绍、证明初等数论中一些重要的概念、结论。
在微积分学领域，积性函数指的是具有 f(ab)=f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b)的函数，在数论领域这个概念略有不同，仅定义在正整数上，它揭示了整数的很多性质。废话不多说，直奔主题。
为了区分通常意义上的函数，我们定义算数函数：
定义1.1 定义在所有正整数上的函数称为算数函数。
在整个积性函数篇里，不加说明地，我们总是讨论算数函数。
定义1.2 算术函数 f f如果满足对于任意两个互质的正整数 m m和 n n，均有 f(mn)=f(m)f(n) f(mn)=f(m)f(n)，就称 f f为积性函数（或乘性函数）。如果对于任意两个正整数 m m和 n n，均有 f(mn)=f(m)f(n) f(mn)=f(m)f(n)，就称为完全积性函数。
很容易找到一些trivial的积性函数，如 f(n)=1,f(n)=n,f(n)=n2 f(n)=1,f(n)=n,f(n)=n2，事实上所有的幂函数都是积性函数。
结合积性函数的定义和算数基本定理，很容易得到下面的定理：
定理1.1 如果 f f是一个积性函数，对于任意的正整数 n n有素数幂分解 n=p1a1p2a2...psas n=p1a1p2a2...psas，那么有 f(n)=f(p1a1)f(p2a2)...f(psas) f(n)=f(p1a1)f(p2a2)...f(psas)
证明：略，使用数学归纳法即可。
好了，介绍完了积性函数的基本概念，就开始介绍今天的主角，欧拉函数，它也被称为欧拉 ϕ ϕ函数。顾名思义，它是由欧拉首先研究的。
定义1.3 欧拉函数 ϕ(n) ϕ(n)定义为不超过 n n且和 n n互质的正整数的个数。
下面我们就来探讨欧拉函数在各个点上的取值。很容易得到对于素数 p p， ϕ(p)=p−1 ϕ(p)=p−1，那么反过来是不是也成立呢？
定理1.2 如果 p p是素数，那么 ϕ(p)=p−1 ϕ(p)=p−1.反之，如果 p p是正整数且满足 ϕ(p)=p−1 ϕ(p)=p−1，那么 p p是一个素数。
证明：前句可由互质定义得到，我们只证明后句。若 p p不是素数，那么或是1或是合数。而 ϕ(1)=1 ϕ(1)=1，但若 p p是合数，得有因子 0<d<p 0
我们再进一步，看欧拉函数在素数的幂下的取值。实际上和素数幂 pn pn不互质的只有 p p的倍数，一共有 pn/p=pn−1 pn/p=pn−1个，故 ϕ(pn)=pn−pn−1 ϕ(pn)=pn−pn−1。
定理1.3 如果 p p是素数，那么 ϕ(pn)=pn−pn−1 ϕ(pn)=pn−pn−1。
接下来我们讨论更一般的情况，为此，我们需要证明欧拉函数是一个积性函数。定理的证明依赖于同余的一些简单性质，由于本文是本系列的第一篇，所以这里尽量把需要用到的性质先给证一证。如果你对这些性质比较清楚，可以直接跳过下面的补充部分，直接进入定理的证明。
定义1.4 一个模 m m完全剩余系是一个整数的集合，使得任意整数恰和此集合中的一个元素模 m m同余。
引理1.4 m m个模 m m不同余的整数的集合构成一个模 m m的完全剩余系。
证明： 假设 m m个模 m m不同余的整数的集合不是一个模 m m的完全剩余系。那么可能存在整数 a a，使得集合中存在不止一个元素和 a a同余，但由于同余的性质，如果 a a和 b b模 m m同余，且 a a和 c c模 m m同余，那么必有 b b和 c c模 m m同余，和假设不符；那么可能存在整数 a a，使得集合中不存在元素和 a a同余，但模 m m的余数只有 m m种可能， a a否定了一种可能，意味着集合里的元素模 m m至多只有 m−1 m−1个值，但集合中的 m m个元素互不同余，应有 m m个不同的值，和假设不符。故原假设成立。
由上述引理，容易得到 0,1,2,3,...,m−1 0,1,2,3,...,m−1是模 m m的一个完全剩余系。
引理1.5 若 r1,r2,...,rm r1,r2,...,rm是模 m m的一个完全剩余系，且正整数a满足 gcd(a,m)=1 gcd(a,m)=1,则对任意整数b， ar1+b,ar2+b,...,arm+b ar1+b,ar2+b,...,arm+b都是模 m m的完全剩余系。
证明：由引理1.4，我们只需证明这m个数互不同余。取任意两个元素 ri,rj,i≠j ri,rj,i≠j相减，得 ari+b−(arj+b)=a(ri−rj) ari+b−(arj+b)=a(ri−rj).
若我们有 ari≡arj(mod m) ari≡arj(mod m), 基于同余的性质，在 gcd(a,m)=1 gcd(a,m)=1的情况下，两边可以约去 a a，于是得到 ri≡rj(mod m) ri≡rj(mod m)，这和假设矛盾，故 ari,arj ari,arj 不同余，故引理成立。
有了引理1.5后，我们就可以比较方便地证明定理1.6。
定理1.6 设m,n是两个互质的正整数，那么 ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n) ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n).
证明：我们将 1,2,...,mn 1,2,...,mn从上往下，从左往右依次排列，每一列写m个数：
1 m+1 2m+1 ... (n−1)m+1 1 m+1 2m+1 ... (n−1)m+1
2 m+2 2m+2 ... (n−1)m+2 2 m+2 2m+2 ... (n−1)m+2
... ...
r m+r 2m+r ... (n−1)m+r r m+r 2m+r ... (n−1)m+r
... ...
m 2m 3m ... nm m 2m 3m ... nm
从行的角度观察上式，考察第 r r行，由于 m m和 m m不互质，所以如果 r r不和 m m互质的话，整行都不与 mn mn互质，所以实际上我们只需考虑 ϕ(m) ϕ(m)行。而对于这些 r r和 m m互质的行，每一行实际上构成模 n n的完全剩余系，我们研究某行，为了方便，同样记为 r r。取第 k k个元素，即 (k−1)m+r (k−1)m+r，记 (k−1)m+r mod m=d (k−1)m+r mod m=d.
如果d和m互质，那么有 (k−1)m+r−d=λm (k−1)m+r−d=λm可知， (k−1)m+r (k−1)m+r和 m m也互质，否则存在的因子必是 d d的因子（同除以该因子，两边应均为整数）；反之，如果 d d和 m m不互质， (k−1)m+r (k−1)m+r和 m m也不互质， d d和 m m的公因子也是它们的公因子。于是每一行都有 ϕ(n) ϕ(n)个因子。定理得证。
结合定理1.3和定理1.6，以及算数基本定理，我们可以求得任意正整数的欧拉函数值。
定理1.7 设 n=p1a1p2a2...pkak n=p1a1p2a2...pkak为正整数n的素数幂分解，那么 ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk) ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk).
证明：由定理1.1和1.6可得， ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)...ϕ(pkak) ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)...ϕ(pkak).由定理1.3可得， ϕ(pkak)=pk−pk−1 ϕ(pkak)=pk−pk−1，于是有
ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk) ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)
=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk) =n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)
至此我们已经掌握了欧拉函数的值得求法。你是否对这么多的证明感到厌烦了，在进一步讨论欧拉函数的性质之前，我们转换一下角度，从程序设计的角度入手，看看如何实现计算欧拉函数。如果你对程序设计不感兴趣，可以直接跳过这部分内容。计算单个欧拉函数值的过程实际上就是对正整数 n n进行分解的过程，我们从2开始从小到大寻找 n n的因子，显然找到的最小的因子必是素数（否则会有更小的素因子），找到后把这个素因子全部约去，并计算 (1−1/p1) (1−1/p1)，然后接着向前，由于之前的因子已经消去，我们仍能保证找到的因子是素数。完整的代码如下：
01 |
int euler(int x){ |
02 |
int res = x; |
03 |
for(int i=2; i<(int)sqrt(x*1.0)+1; ++i) |
04 |
if(x % i == 0){ |
05 |
res = res / i * (i - 1); |
06 |
while(x % i == 0) x /= i; |
07 |
} |
08 |
if(x > 1) res = res / x * (x - 1); |
09 |
return res; |
10 |
} |
下面给出求 1..maxn 1..maxn的所有欧拉函数值的程序，也非常简单，这里不再解释了。
1 |
for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i; |
2 |
for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2; |
3 |
for(int i=3; i<=maxn; i+=2) |
4 |
if(phi[i] == i){ |
5 |
for(int j=i; j<=maxn; j+=i) |
6 |
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); |
7 |
} |
短暂的休息之后接着回到欧拉函数的性质中来。下面的定理表明，除了 n=1,2 n=1,2， ϕ(n) ϕ(n)都是偶数。
定理1.8 设 n n是一个大于2的正整数，那么 ϕ(n) ϕ(n)是偶数.
证明：由定理1.1和1.2可知，大于2的素数都是偶数，而所有高于1次的素数幂（包括2）都是偶数，而由定理1.7，所有大于2的合数的欧拉函数都可以分解成素数幂的乘积，所以也必定是偶数。
最后我们介绍一个非常重要的概念，和函数，它在后续的内容中也会发挥作用。
定义1.5 设 f f是一个算数函数，那么记 F(n)=∑d|nf(d) F(n)=∑d|nf(d)代表 f f在 n n中所有正因子处的值的和，则 F F称为 f f的和函数。
对于欧拉函数而言，它的和函数有很好的性质：
定理1.9 设 n n为一个正整数，那么 ∑d|nϕ(d)=n ∑d|nϕ(d)=n.
证明：我们1..n的整数按照与n的最大公约数划分成若干个不相交的类，最大公约数为d的类记为 Cd Cd。那么 m∈d m∈d当且仅当 gcd(n,m)=d gcd(n,m)=d，或者说 gcd(n/d,m/d)=1 gcd(n/d,m/d)=1，由于 1<=m<=n 1<=m<=n， m/d m/d可以取到 1..n/d 1..n/d的所有数，于是符合条件的m的个数即为 ϕ(n/d) ϕ(n/d)。于是有
F(n)=∑d|nf(n/d) F(n)=∑d|nf(n/d),而 n/d n/d实际上取尽了n的所有因子，于是等价于 ∑d|nf(d) ∑d|nf(d)，定理得证。
关于积性函数和欧拉函数的基础讨论就到这里了，本系列的下一节将介绍其它的积性函数以及有趣的梅森素数。