蓝桥杯——带分数

原题链接：acwing.带分数

题目描述

100 可以表示为带分数的形式：$100=3+\frac{69258}{714}$

还可以表示为：$100=82+\frac{3546}{197}$

注意特征：带分数中，数字 $1\sim 9$分别出现且只出现一次（不包含 $0$）。

类似这样的带分数，$100$有 $11$ 种表示法。

输入格式

一个正整数。

输出格式

输出输入数字用数码 $1\sim 9$ 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

数据范围

$1\le N<10^6$

输入样例1：

100

输出样例1：

11

输入样例2：

105

输出样例2：

6

dfs暴力搜索

直接枚举每一种排列，然后双重循环枚举分界点，将排列分为三部分，求出结果

可以看出，如果第一个数已经大于给定的值，即可及时break掉减少一层循环

时间复杂度

$O(n!\times n)$

C++ 代码

#include 
using namespace std;

int n;
const int N = 10;
int a[N];
bool st[N];
int res = 0;

int cal(int l,int r) {
    int ans = 0;
    for(int i = l;i <= r;i ++) ans = ans * 10 + a[i];
    return ans;
}

void dfs(int u) {

    if(u > 9) {

        for(int i = 1;i < 9;i ++) {
            int a = cal(0,i);
            if(a >= n) break;
            for(int j = i + 1;j <= 9;j ++) {

                int b = cal(i + 1,j);
                int c = cal(j + 1,9);
                if(a * c + b == n * c) res ++;
            }
        }

    }

    for(int i = 1;i <= 9;i ++) {
        if(!st[i]) {
            st[i] = true;
            a[u] = i;
            dfs(u + 1);
            st[i] = false;
        }
    }

}

int main()
{
    cin >> n;
    dfs(1);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

---

优化

只需要枚举$a$和$c$，根据$b=c\times n-a\times c$求出b即可，然后判断b的每一位是否都有用到

那么我们可以嵌套递归，对于$a$的每一个分支，都递归求出$c$

C++ 代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20;
bool st[N], backup[N];
int n;
int ans;

bool check(int a,int c) {

    int b = n * c - a * c;
    if(!a || !b || !c) return false;

    memcpy(backup,st,sizeof st);

    while(b) {
        int x = b % 10;
        b /= 10;
        if(!x || backup[x]) return false;
        backup[x] = true;
    }

    for(int i = 1;i <= 9;i ++)
        if(!backup[i]) return false;

    return true;

}

void dfs_c(int u,int a,int c) {

    if(u > 9) return;

    if(check(a,c)) ans ++;

    for(int i = 1;i <= 9;i ++) {
        if(!st[i]) {
            st[i] = true;
            dfs_c(u + 1,a,c * 10 + i);
            st[i] = false;
        }
    }

}

void dfs_a(int u,int a) {

    if(a > n) return;
    if(a) dfs_c(u,a,0);

    for(int i = 1;i <= 9;i ++) {
        if(!st[i]) {
            st[i] = true;
            dfs_a(u + 1,a * 10 + i);
            st[i] = false;
        }
    }

}

int main()
{
    cin >> n;

    dfs_a(0,0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}