蓝桥杯——算法训练——数字三角形

蓝桥杯——算法训练——数字三角形

这道题不难，但是比较典型，可以作为动态规划（dp）的入门篇，属于线性dp（LIS，LCS和数字三角形都是此类题型）。
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问题描述
　　（图３.１－１）示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
　　径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　●1＜三角形行数≤100；
　　●三角形中的数字为整数0，1，…99；

　　（图３.１－１）
输入格式
　　文件中首先读到的是三角形的行数。
　　接下来描述整个三角形
输出格式
　　最大总和（整数）
样例输入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
样例输出
30
时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB
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思路分析：这道题拿到手，可能会有人想到枚举，把所有的路线结果列举出来，再比较大小不就行了，但是这样做的后果很可能就是超时，因为一旦三角形的规模上去了，排列组合的情况就会暴涨。所以这里不妨采取递推的想法，从底部开始记录，运用动态规划的想法（追求子问题的最优解），逐步向上更新数字三角形的值，最终的答案就是塔顶的值，看代码：

#include 
#include 
#include 
#include  //包含max()函数的头文件
using namespace std;
int num[101][101]; //记录数塔
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		memset(num, 0, sizeof(num)); //初始化数塔
		for(int i=1; i<=n; i++){
			for(int j=1; j<=i; j++){
				scanf("%d", &num[i][j]); //数塔初值
			}
		}
		for(int i=n-1; i>=1; i--){ //注意是从倒数第二层开始更新的（最后一层没有必要）
			for(int j=1; j<=i; j++){
				num[i][j] += max(num[i+1][j], num[i+1][j+1]); //dp方程，来历可以自己先想想，文末是个人想法
			}
		}
		printf("%d\n", num[1][1]);
	}
	return 0;
}

dp方程：
我们可以先从特殊情况来考虑本题，这道题最大的变数就在于数塔的层数，那么这就是突破口：
1、假设数塔只有一层，答案很显然
2、假设数塔有两层，那么就将第二层大一点的值增加到第一层，求得答案
3、假设数塔有三层，按照代码的思路，先更新倒数第二行，我们一个值一个值的更新，每一个值结合下面一层都会有自己的两层小数塔，

   1
  3 4
 5 8 0

比如例子中的（2，5，8）和（4，8，0），那么又回到了假设2，以此类推，只要从底层一层一层的更新到塔顶，那么所求最大值即塔顶的值。
从中我们也得到了递推关系式，也是dp方程：
num[i][j] += max(num[i+1][j], num[i+1][j+1]