青蛙的约会--扩展欧几里得

ACM专题学习四

题目

artist 和 小旋 只在网上一起打过比赛，没有见过面。

开学返校了，他们决定出来约个饭 ，他们处于同一条长为L的轴线上，且这条轴线是头尾相连的

artist的初始坐标是X ， 她顺时针走，每秒可以走m米

小旋的初始坐标是Y ， 他也是顺时针走，每秒可以走n米

小旋和artist每秒都在走路。小旋想知道，他到底要走多少秒，才能遇见artist呢？

秒只能是整数秒，遇见的含义是到**同一个坐标**。

注意：这道题不支持bits/stdc++.h头文件！

输入

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

输出

输出碰面所需要的秒数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

样例输入

1 2 3 4 5

样例输出

4

分析

轴线收尾相连，两只蛙蛙走相同的秒数能到达同一个位置，说明它们走的路程模L同余，

(x+mt)%L=(y+nt)%L,化为带余数的式子x+mt=aL+r,y+nt=bL+r,两式相减得（m-n)t+x-y=(a-b)L,

即（m-n)t-(a-b)L=y-x，其中t和k是变量，（m-n)t+kL=y-x，要求出t，用扩展欧几里得

扩欧求x,y的证明：

         Ax + By = C = gcd(A, B)

 ∵ gcd(A, B) = gcd(B, A mod B)

 ∵ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(B, A mod B)

 ∴ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(A, B)

 ∴ Bx’ + (A - A/B * B)y’ = gcd(A, B)

 → Bx’ + Ay’ - B*(A/B)y’ = gcd(A, B)

 → Ay’ + B(x’ - (A/B)*y’) = gcd(A, B)

 ∴ x = y’, y = x’ -(A/B)*y’

利用递归就可以实现扩欧的运算

用int会WA，所以用long long

#include 
using  namespace  std;
long  long  extgcd( long  long  a,  long  long  b,  long  long  &x,  long  long  &y)
{
     long  long  d, t;
     if  (b == 0) { x = 1; y = 0;  return  a; }
     d = extgcd(b, a % b, x, y);
     t = x - a / b * y; x = y; y = t;
     return  d;
}
int  main()
{
     long  long  x, y, m, n, L, t, k, d, r;
     while  (cin >> x >> y >> m >> n >> L)
     {
         d = extgcd(n - m, L, t, k); 
            r = L / d;
         if  ((x - y) % d) 
            cout <<  "Impossible"  << endl;
         else  
            cout << ((x - y) / d * t % r + r) % r << endl;
     }
     return  0;
}