二维随机变量

什么是二维随机变量？

设$E$是一个随机试验，它的样本空间是$S=\{e\}$，设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的随机变量

由他们构成的一个向量$(X,Y)$叫做二维随机向量或二维随机变量

二维随机变量的分布函数的定义及性质

• 定义

设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数：

称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布函数

• 性质

1. $F(x,y)$是变量$x$和$y$的不减函数，即对于任意固定的$y$，当$x_2>x_1$时$F(x_2,y)\ge F(x_1,y)$，对固定的$x$同理
2. $0\le F(x,y)\le 1$，$F(-\infty ,\infty )=0$，$F(\infty ,\infty )=1$
3. 对于任意固定的$y$，$F(-\infty ,y)=0$，对于任意固定的$x$，$F(x,-\infty )=0$
4. $F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$，即$F(x,y)$关于$x$和$y$右连续
5. 对于任意的$(x_1,y_1)$，$(x_2,y+2)$，$x_1<x_2$ ， $y_1<y_2$有：$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$

二维离散型随机变量的分布率及性质

• 定义

设二维随机变量$(X,Y)$所有可能取的值为$(x_i,y_i)$，$i,j=1,2,\cdots$

我们称$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，$i,j=1,2,...$，为二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布率

• 性质

记$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，$i,j=1,2,...$，则由概率的定义有$p_{ij}\ge 0$，${\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$

二维离散型随机变量的分布函数计算公式

设二维随机变量$(X,Y)$所有可能取的值为$(x_i,y_i)$，$i,j=1,2,\cdots$

$F(x,y)={\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^y{p}_{xy}$

二维连续型随机变量的概率密度及性质

对于二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$如果存在非负可积函数$f(x,y)$使得对于任意$x,y$有

​ $F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$

则称$(X,Y)$是二维连续性随机变量，函数$f(x,y)$称为二维连续性随机变量$(X,Y)$的概率密度，或称为随机变量$X$和$Y$的联合概率密度

• 性质

1. $f(x,y)\ge 0$
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=F(\infty ,\infty )=1$
3. 设$G$是$xOy$平面上的区域，点$(X,Y)$落在$G$内的概率为$P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$
4. 若$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，则有$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

二维连续性随机变量的分布函数计算公式

$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$

如何求连续型随机变量落在区域$G$内概率$P\{(X,Y)\in G\}$的公式

$P=\{(X,Y)\in G\}=\int {\int }_G(x,y)dxdy$

常见的二维分布

均匀分布$f(x,y)=\{\begin{array}{rl}& \frac{1}{S}，(x,y)\in D\\ & 0,其他\end{array}$

二维正态分布