第六届蓝桥杯国赛:机器人繁殖从公式推导到C++/Python的实现

题目 1831: 机器人繁殖

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题目描述

X星系的机器人可以自动复制自己。它们用1年的时间可以复制出2个自己，然后就失去复制能力。
每年X星系都会选出1个新出生的机器人发往太空。也就是说，如果X星系原有机器人5个，
1年后总数是：5 + 9 = 14
2年后总数是：5 + 9 + 17 = 31

如果已经探测经过n年后的机器人总数s，你能算出最初有多少机器人吗？

输入

输入一行两个数字n和s，用空格分开，含义如上。n不大于100，s位数不超过50位。

输出

要求输出一行，一个整数，表示最初有机器人多少个。

样例输入

2 31

样例输出

5

思路

我们很容易发现，对于这一道题目，是有迹可循的，对于此我们可以简单的进行分析。

首先我们规定以下符号：

n：年数 s：机器人总数 k：最初的机器人数量

1. 首先我们先看一下题目，其中我们可以发现：
   $$第n年所能产生的机器人个数=2\ast 第(n-1)年所能产生的机器人个数-1$$
   那么我们将这个公式进行推广，通过数学归纳法可以得到这样的一个公式：
   $$第n年所能产生的机器人个数=2^{n}k-2^n+1$$
   这个公式不难理解，原因也很简单，每年新增人数如下：
   $$\begin{gathered} n=0:k \\ n=1:k+(k-1) \\ n=2:k+(k-1)+(k-1)+(k-2) \\ ...... \\ n=m:k+(k-1)+(k-1)+(k-2)+(k-2)+(k-3)......(k-m-1)+(k-m) \end{gathered}$$
   我们很容易发现k前的系数是2^{n-1} 而后面的偏置就是系数-1。

2. 接下来我们在推导一下机器人总数s:

   我们知道机器人总数s不过就是每年新增人数之和，故：
   $$\begin{gathered} s=\sum _{i=1}^n(2^{i}k-2^i+1)+1 \\ s=(2^{n+1}-1)k-(2^{n+1}-1)+n+1 \end{gathered}$$

3. 那么当这个等式出来以后，我们就可以惊奇的发现，整个题目都变成了一个三元方程，后面我们只需要把这个方程解出来即可，唯一需要注意的可能就是关于大数除法的问题了。为了方便计算，我们把等式稍微变形一下：
   $$s-n-1=(2^{n+1}-1)(k-1)$$

代码描述

python

string = input('')
n = int(string.split()[0])
s = int(string.split()[1])
k = (s-n-1)/(2**(n+1)-1)+1
print(int(k))

C++

#include
#include
using namespace std;
int main(){
    //需要注意，这里可能会用到大数运算，但非常神奇的就是这里的double居然不会出错
    double s;
    int n, k;
    cin >> n >> s;
    k = (s-n-1)/(pow(2, n+1) -1) +1;
    cout << k;
    return 0;
}