机器学习基础补习01---微积分与概率论基础

玩了将近一个月的我终于又回来继续学习啦~~~，最近开始补习一些机器学习中需要的数学知识，就把个人学习过程记录在csdn博客吧。
1.什么是机器学习？
Tom Michael Mitchell在他的非常经典的书《machine learning》中给出的定义如下：
对于某给定的任务T，在合理的性能度量方案P的前提下，某计算机程序可以自主学习任务T的经验E，随着提供合适的、优质的、大量的经验E，该程序对于任务T的性能逐步提高。
这里比较重要的机器学习的对象是：
（1）任务Task T，一个或者多个
（2）经验Experience E
（3）性能Performance P
即随着任务的不断执行，经验的累积会带来计算机性能的提升。
换个表述：
机器学习是人工智能的一个分支。我们使用计算机设计一个系统，使它能够根据提供的训练数据按照一定的方式来学习；随着训练次数的增加，该系统可以在性能上不断学习和改进，通过优化该学习模型，能够基于先前学习得到的参数来预测相关问题的输出。
当然了，很难具体说清楚到底什么是机器学习，还是要自己慢慢理解。
思考一下，机器如何发现新词？（没有词库和词典的情况下）
中文的几个汉字经常出现在一起的话，那这就可能是一个新词，所以我们需要考虑以下几个因素：
（1）频数：Count（X）
（2）凝固程度
a. X =A B
b. P(A)P(B) vs P(X)
如果A和B是独立的话，那我们就不认为它们组合在一起是一个新词，也就是凝固程度很差
如果P（A）P（B)和P(X)经常很接近的话，那我们会倾向于A和B会组成一个新词
（3）自由度
a. aXb
b. 信息熵H（a）、H（b）
信息熵在以后的文章中会详加解释
（4）凝固程度和自由程度缺一不可，只考虑凝固程度，会找出“巧克”，“俄罗”，“五颜六”、“柴可夫”等“半个词”；只考虑自由程度，会把“吃了一顿”、“看了一遍”、“睡了一晚”，“去了一趟”中的“了一”提取出来，因为它的左右邻字都太丰富了。
那么来思考一个问题，给定一个长文本，如何利用上述参数来设计一个可行算法？
也许可以用双数组Trie树来解决这个问题
这是一个简单的例子，可以看到发现一个新词对于机器来说也很不容易。
2.ok，现在来进入正式的学习内容
(1)回忆知识
求S的值：
$S=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{n!}+...$
复习微积分：夹逼定理
当x∈U（$x_0$,r）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)成立，并且$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=A$$,$$\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A$$那么则有：$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$
g（x）和h（x）都没有特殊限制，只要求当x相同时，g（x）和h（x）的极限相等。
来看一下它的应用：

如上图所示，我们可以看到sinx$ϵ$），对上述式子进行变换，得到：$1<\frac{x}{sinx}<\frac{1}{cosx}$，即：$cosx<\frac{sinx}{x}<1$，因为$$\underset{x\to 0}{\lim }cosx=cos0=1$$
从而：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$$（非常基础的一个极限公式）
该极限式将三角函数和多项式建立了极限关系

复习微积分：极限存在定理
单调有界数列必有极限，如：单增数列有上界，则其必有极限
构造一个数列{$x_n$}
$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^m$直接把该数列展开，我们得到：

所以说该数组是有上界的，且上界为3
自然常数
根据前文中$a_n=(1+\frac{1}{n})$的二项展开式，已经证明数组{$a_n$}单增有上界，因此，必有极限，记作e
同时：有以下式子成立：

根据夹逼定理，函数$f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$的极限存在，为e
目前e的具体值还不清楚，只知道它比3要小。
导数
（1）简单的说，导数就是曲线的斜率，是曲线变化快慢的反应
（2）二阶导数是斜率变化快慢的反应，表征曲线的凹凸性
a. 在GIS中，往往一条二阶导数连续的曲线，我们称之为“光顺“的
b. 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧
应用；
（1）已知函数$f(x)=x^x，x>0$
（2）求f（x）的最小值
a. 领会幂指函数的一般处理套路
b. 在信息熵章节中将再次遇到它
求解：

所以求幂指函数时，先求对数再求导
泰勒展开式

泰勒公式的应用1
数值计算：初等函数值的计算（在原点展开）

在实践中，往往需要做一定程度的变换。

计算$e^x:$

(1)给定正实数x，计算$e^x=?$
(2)一种可行的思路：
a. 求整数k和小数r，使得：
$x=k\ast ln2+r,|r|<=0.5\ast ln2$
b.从而：
$e^x=e^{k\cdot ln2+r}=e^{k\cdot ln2}\cdot e^r=2^k\cdot e^r$
方向导数
如果函数$z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿任一方向L的方向导数都存在，且有：
$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\psi +\frac{\partial f}{\partial y}sin\psi$
其中：$\psi$为x轴到方向L的转角
梯度
(1)设函数$z=f(x,y)$在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一个点P（x，y）∈D，向量：$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$为函数$z=f(x,y)$在点P的梯度，记作grad f(x,y)
(2)梯度的方向是函数在该点变化最快的方向
a.考虑一座解析式为$z=H(x,y)$的山，在$（x_0,y_0）$的梯度是在该点梯度变化最快的方向
(3)梯度下降法：思考：若下山方向和梯度呈$\theta$夹角，下降速度是多少？（考虑方向导数）
凸函数
若函数f的定义域domf为凸集，且满足：
$\forall x,y\in domf,0\le \theta \le 1$，有：
$f(\theta x+(1-\theta )y)\le \theta f(x)+(1-\theta )f(y)$
凸函数的判定：
（1）定理：f(x)在区间[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，那么：
a. 若$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$,则f（x）是凸的
b. 若$f^{{}^{\prime \prime }}(x)<0$,则f（x）是凹的
即：一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的
凸性质的应用
（1）设p（x),q（x）是在X中取值的两个概率分布，给定如下定义式：

试证明：D（p||q）≥0
上式在最大熵模型等内容中会详细讨论
可以在以下图像中看出y=-logx在定义域上是凸函数


概率论
（1）对概率的认识：P（x）∈[0,1]
a. P=0：事件出现的概率为0—>事件不会发生？
b. 若x为离散/连续变量，则P($x=x_0$)表示$x_0$发生的概率/概率密度
（2）累计分布函数:$\Phi (x)=P(x\le x_0)$
a. $\Phi (x)$一定为单增函数
b. $min(\Phi (x))=0,max(\Phi (x))=1$
c. 将值域为[0,1]的某函数$y=f(x)$看成y事件的累积概率
d. 若$y=f(x)$可导，则$p(x)=f(x)$为某概率密度函数
古典概型
举例：将n个不同的球放入N（N≥n）个盒子中，假设盒子容量无限，求事件A={每个盒子至多有1个球}的概率
解：$P(A)=\frac{P_N^n}{N^n}$
(1)基本事件总数：
a.第1个球，有N种放法；
b.第2个球，有N中放法；
…
d.共：$N^n$种放法
（2）每个盒子至多放1个球的事件数：
a.第1个球，有N种放法；
b.第2个球，有N-1种放法；
c.第3个球，有N-2种放法；
…
d.共：$N（N-1）（N-2）...(N-n+1)=P_N^n$
装箱问题：
将12件正品和3件次品随机装在3个箱子中，每箱装5件，每箱中恰有1件次品的概率是多少？
解：(1)将15件产品装入3个箱子，每箱装5件，共有$\frac{15!}{5!5!5!}$种装法
（2）先把3件次品放入3个箱子，有3！种装法。对于这样的每一种装法，把其余12件产品装入3个箱子，每箱装4件，共有$\frac{12!}{4!4!4!}$种装法
（3）$P(A)=\frac{\frac{(3!\ast 12!)}{(4!4!4!)}}{\frac{(15!)}{(5!5!5!)}}$=$\frac{25}{91}$
与组合数的关系
（1）把n个物品分成k组，使得每组物品的个数分别为n1,n2…nk,(n=n1+n2+…+nk),则不同的分组方法有$\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}$种。
（2）上述问题的简化版本，即n个物品分成2组，第一组m个，第二组n-m个，则分组方法有：$\frac{n!}{m!(n-1)!}$,即：$C_n^m$
商品推荐
（1）商品推荐场景中过于聚焦的商品推荐往往会损害用户的购物体验，在有些场景中，系统会通过一定程度的随机性给用户带来发现的惊喜感。
（2）假设在某推荐场景中，经计算A和B两个商品与当前访问用户的匹配度分别为0.8和0.2，系统将随机为A生成一个均匀分布于0到0.8的最终得分，为B生成一个均匀分布于0到0.2的最终得分，试计算最终B的分数大于A的分数的概率

解：如上图所示，A=B的直线上方区域即为B>A的情况。
$S_{蓝色}=0.02,S_{矩形}=0.16$
$p=\frac{0.02}{0.16}=0.125$
概率公式
（1）条件概率：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
（2）全概率公式：$P(A)=\sum P(A|B_i)P(B_i)$
（3）贝叶斯（Bayes）公式：
$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum P(A|B_j)P(B_j)}$
贝叶斯公式的应用
（1）8支步枪中有5支已校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击，中靶概率为0.8；用未校准过的枪设计，中靶概率为0.3；现从8支枪中随机取一支设计，结果中靶，求该枪是已校准过的概率。
解：

贝叶斯公式$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
(1)给定某系统的若干样本x，计算该系统的参数，即：
$P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )P(\theta )}{P(x)}$
a.P($\theta$):没有数据支持下，$\theta$发生的概率：先验概率
b.P(\theta|x):在数据x的支持下，$\theta$发生的概率：后验概率
c.P(x|$\theta$):给定某参数$\theta$的概率分布：似然函数
两点分布
0-1分布
已知随机变量X的分布律为：

则有：E（X）=p
D (X)=p（1-p）
二项分布
设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，设$X_i$为第i次试验中事件A发生的次数，i=1,2…n，则：

显然，$X_i$相互独立均服从参数为p的0-1分布，所以:

泊松分布
设X~π（$\lambda$）,且分布律为：$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$，k=0,1,2,…,$\lambda >0$
则有：$E(X)=\lambda$,$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$
所以泊松分布的期望和方差都等于参数$\lambda$
在实际事例中，当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率$\lambda$（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P($\lambda$)
如：a.某一服务设施在一定时间内到达的人数
b.电话交换机接到呼叫的次数 c.汽车站台的侯客人数 d. 机器出现的故障数
均匀分布
设X~U（a,b），其概率密度为：

则有$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx={\int }_a^b\frac{1}{b-a}xdx=\frac{1}{2}(a+b)$
$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\int }_a^b{x}^2\frac{1}{b-a}dx-(\frac{a+b}{2}{)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布
设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：

则有E（X）=$\theta$
D(X)=${\theta }^2$

其中，$\lambda >0$是分布的一个参数，常被称为概率参数。即：每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是$[0,\infty )$。
指数分布可以用来表述独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔，软件更新的时间间隔等等。
许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可以用指数分布来近似，它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布的一个重要特性是无记忆性
如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时，有：
$P(x>s+t|x>s)=P(x>t)$
即，如果x是某一元件的寿命，已知元件使用了s小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少t小时的概率相等。
正态分布
设X~N（$\mu ,{\sigma }^2$），其概率密度为：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},\sigma >0,-\infty <x<\infty$
则有：
令$\frac{x-\mu }{\sigma }=t=>x=\mu +\sigma t$,

D（X）=${\sigma }^2$
集合Hash问题
某Hash函数将任一字符串非均匀映射到正整数k，概率为$2^{-k}$,如下所示，现有字符串集合S，某元素经映射后，得到的最大整数为10，试估计S的元素个数。

问题分析：（1）由于Hash映射成整数是指数级衰减的，“最大整数为10”这一条件可近似考虑成“整数10曾经出现”，继续近似成“整数10出现过一次”，字符串被映射成10的概率为$p=2^{-10}=\frac{1}{1024}$,从而，一次映射即两点分布：

这篇文章写得有些乱，主要是一些基本知识的复习