数据结构：二叉树（带图详解）

目录

树的概念和结构

树的概念

树的表示形式 

二叉树

二叉树的概念

两种特殊的二叉树

1、满二叉树

2、完全二叉树

二叉树的性质 

二叉树的存储

二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

还原二叉树

2、层序遍历

二叉树的基本操作 

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树的概念和结构

树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。

 

 注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构

树与非树？

 

以上三种情况可以得出：

• 子树是不想交的
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
•  一颗N个结点的树有N-1条边

根据下图详细说明树的概念：

 

结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的表示形式 

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 ， 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {
     int value; // 树中存储的数据
     Node firstChild; // 第一个孩子引用
     Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

 

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二叉树

二叉树的概念

二叉树（binary tree）是指树中结点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树 

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 

两种特殊的二叉树

1、满二叉树

满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为n，且结点总数是 2ⁿ - 1 ，则它就是满二叉树。

2、完全二叉树

完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

注意：满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树

二叉树的性质 

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) （i>0）个结点 

ps：因为求的是第i层上最多的结点个数可以简单将二叉树理解成满二叉树 

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为1 ，则 深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k -1（k≥0）

 

ps：二叉树的最大结点个数也可以将二叉树理解成满二叉树 

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 

ps：在任意二叉树中，度为0的结点比度为2的结点多一个

假设：二叉树中总的结点个数为N，度为0的结点有n0个，度为1的结点有n1个，度为2的结点n2有n2个 ——>   N = n0 + n1   （1）                                                                                                                   二叉树中总的结点个数为N，在二叉树中总共有N-1条边 ——从下往上看                                         n0的结点——叶子结点：往下不可能产生边                                                                                       n1的结点——只有一个孩子的结点：往下只能产生一条边                                                                 n2的结点——两个孩子结点均存在：往下可以产生两条边                                                                 利用总边数建立一个式子——>N-1 = n1 + 2* n2 （2）                                                          结合两个式子得出n0 = n2 + 1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log₂(n+1) 向上取整

满二叉树也是完全二叉树，而满二叉树总结点个数为：2^h - 1 = n    即 h = log₂(n+1)                      如果是满二叉树，h计算出来之后肯定是整数；如果是完全二叉树，h计算出来之后可能是小数（向上取整数）

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

 

二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为： 顺序存储和类似于链表的链式存储

• 顺序存储适合存储完全二叉树
• 类似于链表的链表存储适合存储任意二叉树

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下： 

// 孩子表示法
class Node {
     int val;        // 数据域
     Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
     Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
     int val;        // 数据域
     Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
     Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
     Node parent;    // 当前节点的根节点
}

二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

// 前序遍历 - 操作：指的是对节点中的值域进行打印
    private void preOrder(BTNode treeRoot){
        /*
        if(null == treeRoot){
            return;
        }

        // 非空
        // 1. 先遍历根节点
        System.out.print(treeRoot.data + " ");

        // 2. 再遍历根节点的左子树----注意：根节点的左子树也是二叉树，遍历根节点的左子树与遍历原树的规则相同
        preOrder(treeRoot.left);

        // 3. 最后再遍历根节点的右子树----注意：根节点的右子树也是二叉树，遍历根节点的右子树与遍历原树的规则相同
        preOrder(treeRoot.right);
        */

        if(treeRoot != null){
            System.out.print(treeRoot.data + " ");
            preOrder(treeRoot.left);
            preOrder(treeRoot.right);
        }
    }

//中序遍历
    private void inOrder(BTNode treeRoot){
        if(treeRoot != null){
            inOrder(treeRoot.left);
            System.out.print(treeRoot.data + " ");
            inOrder(treeRoot.right);
        }
    }

//后序遍历
    private void postOrder(BTNode treeRoot){
        if(treeRoot != null){
            postOrder(treeRoot.left);
            postOrder(treeRoot.right);
            System.out.print(treeRoot.data + " ");
        }
    }

根据下面的二叉树分析前序递归遍历图解，中序和后序递归遍历类似。

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

 

还原二叉树

通过前序和中序遍历结果还原二叉树

前序：根——左子树——右子树                                                                                                        通过前序遍历结果可以找到二叉树或者其子树的根结点

中序：左子树——根——右子树                                                                                                        在中序遍历结果中找到根的位置，根位置之前的元素是根左子树中的结点，根位置之后的元素是根右子树中的结点

通过后序和中序遍历结果还原二叉树

后序：左子树——右子树——根                                                                                                        先从后序遍历结果中确定二叉树的根结点

中序：左子树——根——右子树                                                                                                        在中序遍历结果中找到根的位置，根位置之前的元素是根左子树中的结点，根位置之后的元素是根右子树中的结点。先递归还原根右子树，然后再还原根左子树

通过前序和后序遍历结果能否还原二叉树？

不能根据前序和后序遍历结果还原二叉树。因为前序和后序可以确定二叉树的根结点，但是无法确定根结点的左右子树。

2、层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

层序遍历结果：ABCDEFGHI 

下面关于二叉树层序遍历的两道题目

二叉树的层序遍历

import java.util.*;	
class Solution {
    public List> levelOrder(TreeNode root) {
        List> ret = new ArrayList>();
        if (root == null) {
            return ret;
        }

        Queue queue = new LinkedList();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            List level = new ArrayList();
            int currentLevelSize = queue.size();
            for (int i = 1; i <= currentLevelSize; ++i) {
                TreeNode node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            ret.add(level);
        }
        
        return ret;
    }
}

根据这道题可以尝试一下另一道层序遍历二叉树

二叉树的层序遍历Ⅱ

ps：数组倒置

二叉树的基本操作 

// 获取二叉树中节点的个数
    private int size(BTNode treeRoot){
        if(treeRoot == null){
            return 0;
        }

        return 1 + size(treeRoot.left) + size(treeRoot.right);
    }

    // 获取二叉树中叶子节点的个数
    private int getLeafNode(BTNode treeRoot){
        if(treeRoot == null){
            return 0;
        }

        if(treeRoot.left == null && treeRoot.right == null){
            return 1;
        }

        return getLeafNode(treeRoot.left) + getLeafNode(treeRoot.right);
    }

    // 获取二叉树中第k层节点个数----注意：认为根就在第1层
    private int getKLevelNode(BTNode treeRoot, int k){
        if(treeRoot == null || k <= 0){
            return 0;
        }

        // 树一定不为空，k==1说明：获取第一层节点总数，而第一层只有根节点
        if(k == 1){
            return 1;
        }

        return getKLevelNode(treeRoot.left, k-1) + getKLevelNode(treeRoot.right, k-1);
    }

    // 获取树的高度
    private int height(BTNode treeRoot){
        if(treeRoot == null){
            return 0;
        }

        int leftHeight = height(treeRoot.left);
        int rightHeight = height(treeRoot.right);

        return leftHeight > rightHeight? leftHeight+1 : rightHeight+1;
    }

    // 查找值为data的节点，并返回
    private BTNode find(BTNode treeRoot, int data){
        if(treeRoot == null){
            return null;
        }

        if(treeRoot.data == data){
            return treeRoot;
        }

        BTNode ret = find(treeRoot.left, data);
        if(ret != null){
            return ret;
        }

        return find(treeRoot.right, data);
    }

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