数据结构和算法复杂度简述
文章目录
- 1.数据结构前言
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- 1.1 什么是数据结构？
- 1.2 什么是算法？
- 1.3 如何学好数据结构和算法
- 1.4 数据结构和算法书籍及资料推荐
- 2.算法的时间复杂度和空间复杂度
-
- 2.1 算法效率
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- 2.1.1 如何衡量一个算法的好坏
- 2.1.2 算法的复杂度
- 2.1.3 复杂度在校招中的考察
- 2.2 时间复杂度
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- 2.2.1 时间复杂度的概念
- 2.2.2 大O的渐进表示法
- 2.2.3 常见时间复杂度计算举例
- 2.3 空间复杂度
- 2.4 常见复杂度对比
- 2.5 复杂度的oj练习
1.数据结构前言
1.1 什么是数据结构？
数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
1.2 什么是算法？
算法(Algorithm)就是定义良好的计算过程，他取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
1.3 如何学好数据结构和算法
1. 死磕代码
2. 注意画图和思考
1.4 数据结构和算法书籍及资料推荐
- 剑指offerOJ
- LeetCode OJ
2.算法的时间复杂度和空间复杂度
2.1 算法效率
2.1.1 如何衡量一个算法的好坏
比如对于以下斐波那契数列：
long long Fib(int N) {
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏？
2.1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需消耗时间资源和空间(内存)资源。因此 衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的， 即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2.1.3 复杂度在校招中的考察
2.2 时间复杂度
2.2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间，一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2.2 大O的渐进表示法
大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
O(N^2)
- N = 10 F(N) = 100
- N = 100 F(N) = 10000
- N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.2.3 常见时间复杂度计算举例
实例1：
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实例2：
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实例3：
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实例4：
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character )
{
while(*str)
{
if(*str == character)
return str;
else
++str;
}
return NULL;
}
实例5：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
最坏情况就是等差数列求和，最好情况就是序列本身就有序，虽然没有发生交换，但仍要进行N-1次比较
实例6：
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x) {
assert(a);
int begin = 0;
int end = n;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}
这里简单说一下二分查找的边界处理：
- 如果你习惯于前闭后开，那么后续处理也应写成前闭后开。
代码如实例6所示。 - 如果你习惯于全部闭区间，那么后续处理也应写成全闭区间。
代码如下：
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}
实例7：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
实例8：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
2.3 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因
此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
实例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
实例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}
实例3：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
实例答案及分析：
- 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
- 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
- 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
附加题：
// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
我们发现栈空间是有限的，如果递归次数过多很容易引发栈溢出问题，为了减轻这个影响，栈空间回收以后可以重复利用的
请看以下例子：
2.4 常见复杂度对比
一般算法常见的复杂度如下：
2.5 复杂度的oj练习
- 消失的数字oj练习
咱们用异或的方式敲一下代码：
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int x = 0;
for(int i=0;i<numsSize;++i)
{
x ^=nums[i];
}
for(int i=0;i<=numsSize;++i)
{
x ^=i;
}
return x;
}
- 旋转数组oj链接
我们用第三种数组翻转的方式敲一下代码：
void reverse(int *a, int left, int right)
{
while(left < right)
{
int tmp = a[left};
a[left] = a[right];
a[right] = tmp;
++left;
--right;
}
}
void rotate(int *nums, int numsSize, int k)
{
k %= numsSize;
reverse(nums, 0, numsSize-k-1);
reverse(nums, numsSize-k, numsSize-1);
reverse(nums, 0, numsSize-1);
}