无监督学习-k-means聚类方法

K-Means 聚类方法

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对象

• 与有监督学习不同的是，无监督学习所面向的数据是没有标签的。
• 那么如果给定一个无标签的数据集，怎么对其进行分类呢，这时就要使用聚类方法
• K-means 就是聚类方法的一种

K-means 的流程：

k-means 是一个迭代算法，可以按以下步骤记忆

1. 按照给定的K值产生K个不同的聚类中心
2. 数据点与K个聚类中心进行距离上的计算，每个数据点选择其本身距离最近的聚类中心的类作为本轮的归属
3. 按照新的数据分布，分别计算各类数据的均值来作为新的聚类中心
4. 不断迭代2，3步骤，直到聚类中心不再进行变化算法结束

注意：如果分类的过程中发生某类簇中没有数据点的情况，就将那个簇删除掉；若对簇的数量有要求，就重新进行聚类中心的初始化。

失真函数

$$\begin{gathered} J(c_1,c_2,\dots ,c_m,{\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_k)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m||x^{[i]}-{\mu }_{c^{[}i]}|{|}^2 \\ target:minJ(c,\mu ) \end{gathered}$$
从数学角度来看，K-means算法是基于上式的损失函数来优化求解的。

• $c_i$是第i个数据点的分类
• ${\mu }_k$是聚类中心
• ${\mu }_{c^{[i]}}$代表的是某轮迭代时，数据点x的分类的聚类中心

而K-means的两个迭代流程可以分别看作，失真函数J对于c和u做拉格朗日乘子法得到的最值解。
比如在簇分配时，就是固定u变量，计算所有x到u的距离，通过此方法来优化c
而在更新聚类中心时，就是固定c变量，并利用c来重新计算新的聚类中心。

聚类中心的初始化

在算法的第一步就是初始化聚类中心的位置，这里应用了一个较好的方法，就是在所有的数据点里随机化选择k个（不放回抽取）点作为初始的聚类中心，依据此来开始算法的迭代

但是这种随机化分配的变化性较强，就使得聚类的结果会出现问题，产生局部最优解

此时对应的解决办法就是，多次（比如100次）随机化初始聚类中心，然后进行聚类的分配，并计算每次最终的分类对应的失真函数的值，选择最小的一次作为最终的分类结果。这种方法对K在2到10之间的聚类问题很有效果，当类的数量太多的时候，这种方法的作用就不会那么明显了。

K的选择

通常来讲，K的选择是经过人的思考或经验决定的，它通常取决于要解决的问题或要达到的目的，因此并不存在一种自动的最优的k的选择方法
若不知道K应该取多少，可以通过”肘部法则“来进行尝试，但往往并不会取得太好的效果。