预告:我用两年写的新书《算法竞赛》,已于2022年2月交给清华大学出版社,预计于2022年7月出版。
《算法竞赛》是一本“大全”,内容覆盖“基础-中级-高级”,篇幅700页左右。部分知识点的草稿已经在本博客发表。
本篇博客节选自新书《算法竞赛》的“3.4 BFS与最短路”。
文章目录
- 1、BFS求最短路
- 2、路径打印的简单方法
- 3、路径打印的标准方法
1、BFS求最短路
最短路问题是最有名的图论问题,有很多不同的场景和算法。
在一种特殊的场景中,BFS也是极为优秀的最短路算法,这种场景就是:所有的相邻两个点的距离相等,一般把这个距离看成1。此时BFS是最优的最短路径算法,查找一次从起点到终点的最短距离的计算复杂度是O(m) ,m是图上边的数量,因为需要对每条边做一次检查。
如果两点之间距离不相等,就不能用BFS了,需要用Dijkstra等通用算法。
BFS的特点是逐层扩散,也就是按最短路扩散出去。往BFS的队列中加入邻居结点时,是按距离起点远近的顺序加入的:先加入距离起点为1的邻居结点,加完之后,再加入距离为2的邻居结点,等等。搜完一层,才会继续搜下一层。一条路径是从起点开始,沿着每一层逐步往外走,每多一层,路径长度就增加1。那么,所有长度相同的最短路径都是从相同的层次扩散出去的。
求最短路径时,常见的问题有两个:
(1)最短路径有多长?答案显然是唯一的;
(2)最短路径经过了哪些点?由于最短路径可能不只一条,所以题目往往不要求输出,如果要求输出,一般是要求输出字典序最小的那条路径。
下面用一道例题介绍最短路径的计算和最短路径的打印。
2019年省赛真题 迷宫 https://www.lanqiao.cn/problems/602/learning/
题目描述:下图给出了一个迷宫的平面图,其中标记为1 的为障碍,标记为0 的为可以通行的地方。
010000
000100
001001
110000
迷宫的入口为左上角,出口为右下角,在迷宫中,只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。对于上面的迷宫,从入口开始,可以按DRRURRDDDR 的顺序通过迷宫,一共10 步。其中D、U、L、R 分别表示向下、向上、向左、向右走。对于下面这个更复杂的迷宫(30 行50 列),请找出一种通过迷宫的方式,其使用的步数最少,在步数最少的前提下,请找出字典序最小的一个作为答案。
请注意在字典序中D
本题是基本的BFS搜索最短路。BFS是最优的算法,每个点只需搜一次,即进队列和出队列各一次。
题目要求返回字典序最小的最短路径,那么只要在每次扩散下一层(往BFS的队列中加入下一层的结点)时,都按字典序“D 本题的关键是路径打印,下面给出两种打印方法。
2、路径打印的简单方法
简单方法,适合小图。
每扩展到一个点v,都在v上存储从起点s到v的完整路径path。到达终点t时,就得到了从起点s到t的完整路径。
在下面的代码中,在每个结点上记录从起点到这个点的路径。到达终点后,用cout< 这样做的缺点是会占用大量空间,因为每个点上都存储了完整的路径。
#include
using namespace std;
struct node{
int x;
int y;
string path;
};
char mp[31][51];
char k[4]={'D','L','R','U'};
int dir[4][2]={{1,0},{0,-1},{0,1},{-1,0}};
int vis[30][50];
void bfs(){
node start;
start.x=0;
start.y=0;
start.path="";
vis[0][0]=1;
queue<node>q;
q.push(start);
while(!q.empty()){
node now = q.front();
q.pop();
if(now.x==29 && now.y==49){
cout << now.path << endl;
return;
}
for(int i=0;i<4;i++){
node next;
next.x = now.x + dir[i][0]; next.y = now.y + dir[i][1];
if(next.x<0||next.x>=30||next.y<0||next.y>=50)
continue;
if(vis[next.x][next.y]==1 || mp[next.x][next.y]=='1')
continue;
vis[next.x][next.y]=1;
next.path = now.path + k[i];
q.push(next);
}
}
}
int main(){
for(int i=0;i<30;i++)
cin >> mp[i];
bfs();
}
3、路径打印的标准方法
标准方法,适合大图。
其实不用在每个结点上存储完整路径,而是在每个点上记录它的前驱结点就够了,这样从终点能一步步回溯到起点,得到一条完整路径。称这种路径记录方法为“标准方法”。
注意看代码中的print_path(),它是递归函数,先递归再打印。从终点开始,回溯到起点后,再按从起点到终点的顺序,正序打印出完整路径。
#include
using namespace std;
struct node{
int x;
int y;
};
char mp[31][51];
char k[4]={'D','L','R','U'};
int dir[4][2]={{1,0},{0,-1},{0,1},{-1,0}};
int vis[30][50];
char pre[31][51];
void print_path(int x,int y){
if(x==0 && y==0) return;
if(pre[x][y]=='D') print_path(x-1,y);
if(pre[x][y]=='L') print_path(x, y+1);
if(pre[x][y]=='R') print_path(x, y-1);
if(pre[x][y]=='U') print_path(x+1,y);
printf("%c",pre[x][y]);
}
void bfs(){
node start;
start.x=0;
start.y=0;
vis[0][0]=1;
queue<node>q;
q.push(start);
while(!q.empty()){
node now = q.front();
q.pop();
if(now.x==29 && now.y==49){
print_path(29,49);
return;
}
for(int i=0;i<4;i++){
node next;
next.x = now.x + dir[i][0]; next.y = now.y + dir[i][1];
if(next.x<0||next.x>=30||next.y<0||next.y>=50)
continue;
if(vis[next.x][next.y]==1 || mp[next.x][next.y]=='1')
continue;
vis[next.x][next.y]=1;
pre[next.x][next.y] = k[i];
q.push(next);
}
}
}
int main(){
for(int i=0;i<30;i++)
cin >> mp[i];
bfs();
}