FOC控制原理——Clark变换和Park变换

FOC控制原理——Clark变换和Park变换

Clark变换

原理

Clark变换就是把三向坐标系变成直角坐标系

已知三向坐标系 $(I_a,I_b,I_c)$ ，这三个基向量不是正交的，所以可以将其正交化为一个直角坐标系，命名为 $\alpha -\beta$ 坐标系，变换公式为：
$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{I}_{\alpha }& =I_a-I_b\text{cos}60-I_c\text{cos}60\\ & =I_a-\frac{1}{2}{I}_b-\frac{1}{2}{I}_c\end{array}\\ \begin{array}{rl}{I}_{\beta }& =I_b\text{cos}30-I_c\text{cos}30\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_b-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_c\end{array}\end{array}$$

可以将其整理成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]$$
由基尔霍夫电流定律， $I_a+I_b+I_c=0$ ，故也可整理为：
$$\{\begin{array}{l}{I}_{\alpha }=\frac{3}{2}{I}_a\\ I_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_a+\sqrt{3}{I}_b\end{array}$$

反Clark变换则将三向信号转换为两向信号，根据上式可以解得
$$\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]$$
也可通过计算Clark变换常数矩阵的伪逆来确定反Clark变换的常数矩阵（使用MATLAB中的 pinv()函数）

Simulink仿真

通过图像可以看到，输入信号的幅值为1，经过Clark变换后的图像幅值变为1.5，即变为 $\frac{3}{2}$ 倍；进行反Clark变换后幅值又变为1.5，即变为 $\frac{2}{3}$ 倍。所以要进行等幅值变换。修改仿真：

可以看到，经过等幅值变换后，幅值统一为1。

Park变换

原理

Park变换可以将正弦变量线性化

将 $\alpha -\beta$ 坐标系旋转 $\theta$ 度变为 $d-q$ 坐标系， $d$ 指向转子中心， $q$ 指向切线方向，其中 $\theta$ 是转子当前的角度。如下图

也就是说 $d-q$ 坐标系始终跟着转子旋转。

则可以写出
$$\{\begin{array}{l}{I}_d=I_{\alpha }\cos (\theta )+I_{\beta }\sin (\theta )\\ I_q=-I_{\alpha }\sin (\theta )+I_{\beta }\cos (\theta )\end{array}$$
整理成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{l}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]$$
所以如果 $d$ 轴为0，则功率全部输出在 $q$ 轴上。

同理，可以求得反Park变换
$$\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_d\\ I_q\end{array}\right]$$

Simulink仿真

在Clark变换和等幅值变换的基础上添加Park变换

关注Park部分