matlab卷积反投影,[转载]X-CT图像重建的卷积反投影图解法

摘要：X-CT(即X射线计算机断层成像)图像重建的卷积反投影原理对医学影像专业学生较为抽象难懂，本文在简化条件下采用图解法较为系统地描述该原理，达到直观易懂的目的。

1　X-CT图像重建的卷积反投射原理

X-CT成像原理在不少刊物上有详细介绍[1-3]。所谓CT图像重建是按照采集后的数据，求解图像矩阵中像素，然后重新构造图像的过程；而图像矩阵的求解由计算机完成，在X-CT图像重建的解析法中，当前最常用的是采用卷积运算的滤波反投影法，也称卷积反射影法。

卷积反投影重建图像时，先把由检测器上获得的原始数据与一个滤波函数进行了卷积运算，得到各方向卷积的投影函数；然后再把它们从各方向进行反投影，即按其原路径平均分配到每一矩阵元上，进行叠加后得到每一矩阵元的CT值；再经过适当处理后就可以得到被扫描物体的断层图像，卷积反投影可消除单纯的反投影产生的边缘失锐效应，补偿投影中的高频成分和降低投影中心密度，并保证重建图像边缘清晰和内部分布均匀。

卷积反投影法的数学表达式可由雷当投影定理推导出[2]；下面直接给出表达式。

如图1所示，取物体某断层面为x-y坐标系，X射线管A发出的单能窄束X射线束穿过衰减系数为μ(x,y)的物体断层，沿S路径X线束的投影可写为：

式中I0是X线管输出强度，Im是检测器测得的X线束强度。

图1　被测物体断面

由上式可知，投影值P(x,y)就是衰减系数μ(x,y)在断层平面的二维积分，若测出投影值P(x,y)，可求出该断层平面上衰减系数μ(x,y)的二维分布。

在X线束的平移-旋转扫描中，X线的投影值P(x,y)总是与X线束路径S有关的，在图1中，引入一个新坐标系R-θ来描述X线束路径S在x-y坐标系中的位置；取R为X线束路径S到坐标中心的距离，与y轴夹角为θ，则用直线方程：x

cosθ+y

sinθ=R描述路径S。若取δ(t)-函数为筛选因子，则μ(x,y)δ(t)为指定某一路径的衰减系数，这时，某一角度θ相对应的投影可写为：

式中的Pθ(R,θ)仅是R的函数，记为P(R)；若取滤波函数为Φ(t)，为了消除边缘失锐效应，需要用Φ(t)对投影Pθ(R，θ)进行有效地滤波，用滤波函数与反投影信号相加，使各投影信号在其两旁出现正和负的成分，形成所谓滤波反投影信号，由于各次信号迭加时，这些正和负的微小脉冲几乎互相抵消，相当于把失锐部分消去，使图像与实物相似；这种滤波等效于将Pθ(R，θ)与Φ(t)进行卷积运算。

式中P(R)*Φ(R)表示两者的卷积。

对应角度θ的反投影可写为：

将角度θ从0变化到π相应的所有反射影值相加，可得到断层图像重建的衰减系数：

2　卷积反投影的图解法

图像重建的卷积反投影原理及解析式的推导，对于医学院校医学影像专业的学生较为抽象难懂；在一定简化条件下，下面通过图解法系统地描述卷积反投影原理，达到直观易懂的目的，获得较好的课堂教学效果。

如图2(a)所示，设X线束穿过一半径为r衰减系数为μ的均匀圆形物体，X线束分别沿y轴方向(θ=0°)和X轴方向(θ=90°)各取得五次投影，如图2(b)，沿Y轴投影：

(C)D4=D8=6.0、D5=D3=9.0、D6=10.0

图2　沿Y轴的五个投影值(a～c)

上式得到五个投影值分别为(令r=1):1.20,1.83,2.0,1.83,1.20；为简化取整，令μ=5，则这五个投影值为：6.0，9.0，10.0，9.0，6.0；如图2(c)所示，沿X轴投影时，同理得到同样的五个投影值，如果将上述投影值单纯反投影，进行叠加后所得图像矩阵，如图3所示。图像均匀度按下式计算[4]：

W=[1-(μmax-μmin)/(μmax+μmin)]×100%

式中μmax、μmin分别为测量区域内矩阵元最大值和最小值，对于图3，W=98%，图像均匀度较低；从图3可看出沿投影方向有伪迹，图像中心密度增高。

图3　单纯反投影所得图像矩阵

设滤波函数Φ(a,n)为：

式中a为图像每条平行射线间距，n为图像矩阵单列或单行的长度；Φ(a,n)函数图像如图4所示。

由于X-CT数据采集为离散的，且滤波函数也取离散形式，故卷积公式可写成离散形式，并由积分式化成求和式，有：

式中P(n)、Φ(n)分别是投影值和滤波离散函数，N是图像矩阵单列或单行的长度，这里N=12；用Dn表示P(n)的各投影值，用Fn表示Φ(n)的各函数值，当n=0,1,2......11时，对于P(n):

D4=6.0,D5=9.0,D6=10.0,D7=9.0,

D8=6.0，其余Dn=0。如图2(c)所示；而对于Φ(n):F0=1.27,F1=-0.42,F2=-0.08,F3=0.04，其余Fn=0。见图4。

图4　滤波函数图像

设CDn为卷积值，P(n)与Φ(n)的卷积运算由图5(a)-(g)给出图解过程，卷积时可看成二个函数先相向后背向运动：在它产未相交前，卷积值CD0为零；第一点相交时，可把两个函数的相对应部分相乘，得出第一个卷积值CD1；然后滤波函数再向右移动一位，把二个交叉值分别相乘再相加，求得第二个卷积值CD2；再向右移动，重复上述过程可求出第三个卷积值CD3……，直到两个函数完全分开，卷积值又为零，卷积运算后得到的各个原始数值CDn如图6所示。

图5　P(n)与Φ(n)的卷积运算的图解法(a～g)

图6　卷积后得到的原始数值CDn

将卷积后的原始数值反投影，进行叠加后的图像短阵如图7所示，其图像均匀度W=91%，可见单纯珠反投影图像相比，其图像均匀度有所提高；同时由图7可见，卷积反投影后图像边缘的高频分量增高，图像中心宽度有所降低，若增加反投影方向数量，所得图像的均匀度更高，例如：X线束沿θ=0°，θ=45°和θ=90°投影时，卷积反投影后图像均匀度W=92%。

图7　卷积反投影后得到的图像矩阵

在课堂教学当中，将上述图解过程制作成幻灯片投影，能使学生对X-CT图像重建的卷积反投影原理有较直观透彻的理解；特别是对解释卷积反投影法消除边缘失锐，降低中心密度的作用，有较好的教学效果。