3118: Orz the MST（单纯形）

题目链接：http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=3118

题意：给出一个图以及图中指定的n-1条边组成的生成树。每条边权值加1或者减去1都有相应的代价。求一个最小代价使得给出的边是最小生成树。

思路：对于每条非树边，必与某些树边形成环。设该非树边的权值为w2,某树边的权值为 w1。最后非树边增加x2,树边减少x1，那么w1-x1<=w2+x2。这样我们可以得到一些式子。代价也知道，这样就转化成线性规划问题。题目求的是最小值，我们可以将目标方程的系数取反求最大值。

单纯形的步骤：

（1）求出一个初始解；

（2）迭代。

 

（1）这个题的系数矩阵A是全么模：1、元素都是0，-1，1；2、任意子方阵的行列式为0，-1,1。

（2）据说A是全么模时解是整数解，因此此题可直接用单纯形。

 

const int COL=1005;

const int ROW=30005;



int n,m,B[ROW],N[COL];

double A[ROW][COL],b[ROW],c[COL],v;

double ans[COL];





int sgn(double x)

{

    if(x>1e-8) return 1;

    if(x<-1e-8) return -1;

    return 0;

}



//B中第l个替换N中第e个



void pivot(int l,int e)

{

    int i,j;

    double temp=A[l][e];

    b[l]/=temp; A[l][e]=1/temp;

    for(i=1;i<=n;i++) if(i!=e) A[l][i]/=temp;

    for(i=1;i<=m;i++) if(i!=l)

    {

        b[i]-=A[i][e]*b[l];

        for(j=1;j<=n;j++) if(j!=e) A[i][j]-=A[i][e]*A[l][j];

        A[i][e]=-A[i][e]/temp;

    }

    v+=b[l]*c[e];

    for(i=1;i<=n;i++) if(i!=e) c[i]-=c[e]*A[l][i];

    c[e]*=-A[l][e];

    swap(B[l],N[e]);

}





void simplex()

{

    int i,j,k,x;

    int l,s;

    double temp,temp1,temp2,temp3;



    while(1)

    {

        temp2=-dinf; s=-1;

        for(i=1;i<=n;i++) if(sgn(c[i])>0)

        {

            temp=dinf;

            for(k=1;k<=m;k++) if(sgn(A[k][i])>0)

            {

                temp3=b[k]/A[k][i];

                if(temp3<temp) temp=temp3,x=k;

            }

            if(temp2<temp*c[i])

            {

                s=i,l=x,temp2=temp*c[i];

            }

        }

        if(s==-1) break;

        pivot(l,s);

    }

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        for(j=1;j<=m;j++) if(B[j]==i) break;

        if(j<=m) ans[i]=b[j];

        else ans[i]=0;

    }

}





void print()

{

    int i,j;

    printf("v: %.3lf\n",v);

    printf("c:\n");

    for(i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf ",c[i]); puts("");

    printf("A:\n");

    for(i=1;i<=m;i++)

    {

        for(j=1;j<=n;j++) printf("%.3lf ",A[i][j]);

        puts("");

    }

    printf("b:\n");

    for(i=1;i<=m;i++) printf("%.3lf ",b[i]); puts("");

    printf("B:\n");

    for(i=1;i<=m;i++) printf("%d ",B[i]); puts("");



    printf("N:\n");

    for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",N[i]); puts("");







}



int init()

{

    int i,j;

    int k=1;

    for(i=1;i<=m;i++) if(b[i]<b[k]) k=i;

    if(sgn(b[k])>=0)

    {

        for(i=1;i<=n;i++) N[i]=i;

        for(i=1;i<=m;i++) B[i]=n+i;

        v=0;

        simplex();

        return 1;

    }



    static double tmpC[COL];

    for(i=1;i<=n;i++) tmpC[i]=c[i];

    tmpC[n+1]=0;



    n++;

    for(i=1;i<=m;i++) A[i][n]=-1;

    for(i=1;i<=n;i++) N[i]=i;

    for(i=1;i<=m;i++) B[i]=n+i;

    v=0;

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        if(i<n) c[i]=0;

        else c[i]=-1;

    }

    pivot(k,n);

    simplex();



    if(sgn(ans[n])!=0) return 0;







    static int belongB[COL];

    clr(belongB,0);

    for(i=1;i<=m;i++)

    {

        if(B[i]>n) continue;

        belongB[B[i]]=i;

    }

    map<int,int> mp;

    for(i=1;i<=n;i++) mp[N[i]]=i;

    clr(c,0);

    v=0;

    for(i=1;i<=n;i++)

    {

        if(!belongB[i])

        {

            c[mp[i]]+=tmpC[i];

        }

        else

        {

            v+=tmpC[i]*b[belongB[i]];

            int j;

            for(j=1;j<=n;j++)

            {

                c[j]+=tmpC[i]*(-A[belongB[i]][j]);

            }

        }

    }

    c[mp[n]]=0;

    for(i=1;i<=m;i++) A[i][mp[n]]=0;



    simplex();

    n--;

    return 1;

}







struct node

{

    int u,v,id,w,next;

};



node edges[ROW];

int e;

int head[COL];



void add(int u,int v,int w,int id)

{

    e++;

    edges[e].u=u;

    edges[e].v=v;

    edges[e].w=w;

    edges[e].id=id;

    edges[e].next=head[u];

    head[u]=e;

}



int h[COL],up[COL],down[COL];

int eNum;

int inq[COL],KK;

int pre[COL];





void build(int s,int t,int p)

{

    int i;

    for(i=pre[t];i!=-1;)

    {

        int w1=edges[i].w;

        int w2=edges[p*2].w;



        m++;

        A[m][edges[i].id]=-1;

        A[m][p]=-1;

        b[m]=w2-w1;



        int u=edges[i].u;

        i=pre[u];

    }

}



void bfs(int s,int t,int p)

{

    queue<int> Q;

    Q.push(s);

    KK++;

    inq[s]=KK;

    pre[s]=-1;

    while(!Q.empty())

    {

        int u=Q.front();

        Q.pop();



        int i;

        for(i=head[u];i!=-1;i=edges[i].next)

        {

            int v=edges[i].v;

            int id=edges[i].id;

            if(!h[id]||KK==inq[v]) continue;

            pre[v]=i;

            if(v==t)

            {

                build(s,t,p);

                return;

            }

            Q.push(v);

            inq[v]=KK;

        }

    }

}



int main()

{

    n=myInt();

    eNum=myInt();

    clr(head,-1);

    int i;

    for(i=1;i<=eNum;i++)

    {

        int u,v,w;

        scanf("%d%d%d%d%d%d",&u,&v,&w,&h[i],&up[i],&down[i]);

        add(u,v,w,i);

        add(v,u,w,i);

    }

    for(i=1;i<=eNum;i++) if(!h[i])

    {

        int t=i*2;

        bfs(edges[t].u,edges[t].v,i);

    }

    for(i=1;i<=eNum;i++) c[i]=h[i]?-down[i]:-up[i];



    n=eNum;



    if(!init())

    {

        puts("no solution");

    }



    double res=-v;

    if(res<1e-10) res=0;

    printf("%.0lf\n",-v);

}