搜索中的判重（以BFS为例）

预告：我用两年写的新书《算法竞赛》，已于2022年2月交给清华大学出版社，预计于2022年7月出版。《算法竞赛》是一本“大全”，内容覆盖“基础-中级-高级”，篇幅700页左右。部分知识点的草稿已经在本博客发表。本篇博客节选自新书《算法竞赛》的“3.2.1 BFS判重”。

   判重，即判断当前状态是否以前已经处理过。如果已经处理过，就不用再处理了，从这个角度看，判重是一种 剪枝技术。
   判重常常应用在BFS中，BFS剪枝的题目很多需要判重。
   BFS的原理是逐步扩展下一层，把扩展出的下一层点放进队列中处理。在处理上一层的同时，把下一层的点放到队列的尾部。在任意时刻，队列中只包含相邻两层的点。如果这些点都不同，只能把所有点放进队列。如果这些点有相同的，那么相同的点只处理一次就够了，其他相同的点不用重复处理，此时需要判重。
   下面的真题是BFS判重。

---

2017年蓝桥杯省赛真题
跳蚱蜢 https://www.lanqiao.cn/problems/642/learning/
题目描述：有9只盘子，排成1个圆圈。其中8只盘子内装着8只蚱蜢，有一个是空盘。
把这些蚱蜢顺时针编号为 1~8。每只蚱蜢都可以跳到相邻的空盘中，也可以再用点力，越过一个相邻的蚱蜢跳到空盘中。
请你计算一下，如果要使得蚱蜢们的队形改为按照逆时针排列，并且保持空盘的位置不变（也就是1-8换位，2-7换位,…），至少要经过多少次跳跃？

---

   这是一道八数码问题，八数码是经典的BFS问题。
   本题首先用了“化圆为线”的技巧。直接让蚱蜢跳到空盘有点麻烦，因为有很多蚱蜢在跳。如果反过来看，让空盘跳，跳到蚱蜢的位置，就简单多了，只有一个空盘在跳。题目给的是一个圆圈，不好处理，可以“化圆为线”。把空盘看成0，那么有9个数字{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，一个圆圈上的9个数字，拉直成了一条线上的9个数字。这就是八数码问题，八数码有9个数字{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，它有9！=362880种排列，不算多。
   本题的初始状态是“012345678”，终止状态是“087654321”。从初始状态跳一次，下一状态有4种情况，如图所示。

   用BFS扩展每一层。每一层就是蚱蜢跳了一次，扩展到某一层时发现终点“087654321”，这一层的深度就是蚱蜢跳跃的次数。
   所以，八数码问题实际是一个最短路径问题，用BFS最合适。
   这题如果写个裸的BFS，能运行出来吗？第1步到第2步，有4种跳法；第2步到第3步，有$4^2$种；…；第20步，有$4^{20}$ = 1万亿种。
   必须判重，判断有没有重复跳，如果跳到一个曾经出现过的情况，就不用往下跳了。一共只有9！= 362880种情况。代码的复杂度是多少？在每一层，能扩展出最少4种、最多362880种情况，最后算出的答案是20层，那么最多算20*362880 = 7,257,600次。在下面的C++代码中统计实际的计算次数，是1451452次。
   如何判重？用STL的map、set判重，效率都很好。
   另外有一种数学方法叫康托判重（康托判重的详细讲解，参考《算法竞赛入门到进阶》，清华大学出版社，罗勇军，郭卫斌著，“4.3.2 八数码问题”。），竞赛时一般不用。
   下面是“跳蚱蜢”的代码，有map和set两种判重方法。请自己了解STL map和set的概念。

1. map判重

#include
using namespace std;
struct node{
	node(){}
	node(string ss, int tt){s = ss, t = tt;}
	string s;
	int t;
};
//(1) map
map<string, bool> mp;

queue<node> q;
void solve(){
	while(!q.empty()){
		node now = q.front();
		q.pop();
		string s = now.s;
		int step = now.t;
		if(s == "087654321"){ cout<<step<<endl; break;}   //到目标了，输出跳跃步数
		int i;
		for(i = 0 ; i < 10 ; i++)               //找到盘子的位置i
		    if(s[i] == '0')  break;
		for(int j = i - 2 ; j <= i + 2 ; j++){  //4种跳法
		    int k = (j + 9) % 9;
		    if(k == i)	continue;               //这是当前状态，不用检查
		    string news = s;
		    char tmp = news[i];
             news[i] = news[k];
             news[k] = tmp;  //跳到一种情况
//(1) map
			if(!mp[news]){                 //判重：这个情况没有出现过
				mp[news] = true;
				q.push(node(news, step + 1));
			}
		}
	}
}
int main(){
	string s = "012345678";
	q.push(node(s, 0));
//(1) map
	mp[s] = true;
	solve();
	return 0;
}

2. set判重

#include
using namespace std;
struct node{
	node(){}
	node(string ss, int tt){s = ss, t = tt;}
	string s;
	int t;
};

//(2) set
set<string> visited;    //记录已经搜索过的状态
queue<node> q;
void solve(){
	while(!q.empty()){
		node now = q.front();
		q.pop();
		string s = now.s;
		int step = now.t;
		if(s == "087654321"){ cout<<step<<endl; break;}   //到目标了，输出跳跃步数
		int i;
		for(i = 0 ; i < 10 ; i++)               //找到盘子的位置i
		    if(s[i] == '0')  break;
		for(int j = i - 2 ; j <= i + 2 ; j++){  //4种跳法
		    int k = (j + 9) % 9;
		    if(k == i)	continue;               //这是当前状态，不用检查
		    string news = s;
		    char tmp = news[i];
             news[i] = news[k];
             news[k] = tmp;  //跳到一种情况
//(2)set
        if(visited.count(news)==0){    //判重：这个情况没有出现过
				visited.insert(news);
				q.push(node(news, step + 1));
            }
		}
	}
}
int main(){
	string s = "012345678";
	q.push(node(s, 0));
	solve();
	return 0;
}